Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOrtak Olasılık Fonksiyonları

XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y)={c(x2+y2),0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x, y) = \begin{cases} c \left(x^2 + \frac{y}{2}\right), & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, P(X+Y>1)P(X + Y > 1) olasılığı kaçtır?

  1. 1724\frac{17}{24}Cevap
  2. B
    724\frac{7}{24}
  3. C
    1348\frac{13}{48}
  4. D
    1732\frac{17}{32}
  5. E
    716\frac{7}{16}

Cevap

İstenilen olasılık değeri 1724\frac{17}{24}'tür.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olabilmesi için tüm alandaki integralinin 1 olması gerekir. 0<x<y<10 < x < y < 1 üçgen bölgesi üzerinden integral alındığında c=4c=4 bulunur. Bizden istenen P(X+Y>1)P(X+Y > 1) bölgesidir. Bu bölge sınır koşulları nedeniyle parçalı bir integral gerektirir. Tümleyen yöntemi kullanılarak P(X+Y≤1)P(X+Y \leq 1) integrali hesaplanırsa sınırlar 0<x<0.50 < x < 0.5 ve x<y<1−xx < y < 1-x olur. Bu integralin sonucu 724\frac{7}{24} çıkar. Tamamı 1 olduğu için aranan olasılık 1−724=17241 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam alanını 1'e eşitleyerek c sabitini bulma.
∫01∫0yc(x2+y2)dxdy=1  ⟹  c=4\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} c \left(x^2 + \frac{y}{2}\right) dx dy = 1 \implies c = 4 bulunur.
Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu tüm bölgedeki integrali 1 olmalıdır. Sınırlar 0<x<y0 < x < y şartından gelir.
2
İstenen olasılık için bölgeyi belirleme ve hesaplama stratejisi seçme.
P(X+Y>1)P(X+Y > 1) bölgesini doğrudan hesaplamak iki ayrı integral gerektirir. Bunun yerine tümleyen bölge olan P(X+Y≤1)P(X+Y \leq 1) hesaplanıp 1'den çıkarılabilir.
x+y≤1x+y \leq 1 ve x<yx < y şartları kesiştiğinde, entegrasyon bölgesi 0<x<0.50 < x < 0.5 ve x<y<1−xx < y < 1-x olarak tek bir çift katlı integral ile ifade edilebilir.
3
Tümleyen olasılık için integrali kurma ve iç integrali hesaplama.
∫00.5∫x1−x4(x2+y2)dydx\int_{0}^{0.5} \int_{x}^{1-x} 4 \left(x^2 + \frac{y}{2}\right) dy dx. İç integral y'ye göre alınırsa: 4[x2y+y24]x1−x=−8x3+4x2−2x+14 \left[x^2y + \frac{y^2}{4}\right]_x^{1-x} = -8x^3 + 4x^2 - 2x + 1 elde edilir.
Belirlenen sınırlar altında y değişkenine göre kısmi integrasyon işlemi uygulanmıştır.
4
Dış integrali x'e göre hesaplayarak tümleyen olasılığı bulma.
∫00.5(−8x3+4x2−2x+1)dx=[−2x4+4x33−x2+x]00.5=724\int_{0}^{0.5} (-8x^3 + 4x^2 - 2x + 1) dx = \left[-2x^4 + \frac{4x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^{0.5} = \frac{7}{24} bulunur.
Ortak PDF'in istenmeyen bölgedeki toplam hacmi hesaplanmıştır.
5
İstenen olasılığı bulmak için sonucu 1'den çıkarma.
P(X+Y>1)=1−P(X+Y≤1)=1−724=1724P(X+Y > 1) = 1 - P(X+Y \leq 1) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}
Tüm olasılıkların toplamı 1'dir. İstenen bölge, hesaplanan bölgenin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda ortak yoğunluk fonksiyonundan bölge olasılığı hesabı

Alternatif Yöntem

Tümleyen yerine istenilen olasılık bölgesi doğrudan da hesaplanabilir. Bölge ikiye ayrılır: ∫00.5∫1−x14(x2+y2)dydx\int_{0}^{0.5} \int_{1-x}^{1} 4(x^2 + \frac{y}{2}) dy dx ve ∫0.51∫x14(x2+y2)dydx\int_{0.5}^{1} \int_{x}^{1} 4(x^2 + \frac{y}{2}) dy dx. Birinci integralin sonucu 1348\frac{13}{48}, ikinci integralin sonucu 2148\frac{21}{48}'dir. Toplandığında 3448=1724\frac{34}{48} = \frac{17}{24} elde edilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Olasılık Fonksiyonları