X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi … — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x, y) = \begin{cases} c \cdot x, & 0 < x < y < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $P(X < 1 \text{ ve } Y > 1)$ olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru cevap

\frac{3}{8}

değeridir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarında geçerlilik şartı, tüm tanım bölgesi üzerindeki toplam hacmin 1 olmasıdır.

0 < x < y < 2

üçgensel bölgesinde integral alınarak bilinmeyen

c

sabiti

\frac{3}{4}

olarak bulunur. Soruda istenen

P(X < 1, Y > 1)

olasılığı,

0 < x < 1

1 < y < 2

dikdörtgensel alt bölgesine denk gelmektedir. Bu bölgede

\frac{3}{4}x

fonksiyonunun çift katlı integrali alındığında sonuç

\frac{3}{8}

çıkar.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun altında kalan toplam hacmin 1'e eşit olmasını kullanarak

c

sabitini bulunuz.

\int_0^2 \int_0^y c \cdot x \, dx \, dy = 1 \implies \int_0^2 c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y \, dy = \int_0^2 c \frac{y^2}{2} \, dy = c \left[ \frac{y^3}{6} \right]_0^2 = c \frac{8}{6} = 1 \implies c = \frac{3}{4}

Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tüm tanım kümesi üzerindeki çift katlı integralinin 1 olması gerekir.

İstenen

P(X < 1 \text{ ve } Y > 1)

olasılığı için entegrasyon sınırlarını belirleyiniz.

Ana tanım bölgesi

0 < X < Y < 2

şartıdır. Sorulan koşullar

X < 1

Y > 1

olduğundan, bu ikisinin kesişimi

0 < X < 1

1 < Y < 2

bölgesidir. Bu aralıkta

X < Y

şartı doğal olarak sağlandığı için sınırlar bağımsızlaşır.

Çift katlı integrali doğru kurabilmek için olay bölgesinin ortak tanım kümesi içindeki sınırlarının netleştirilmesi gerekir.

Belirlenen sınırlar üzerinde olasılığı hesaplamak için integrali alınız.

P(X < 1, Y > 1) = \int_1^2 \int_0^1 \frac{3}{4} x \, dx \, dy = \int_1^2 \frac{3}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \, dy = \int_1^2 \frac{3}{8} \, dy = \frac{3}{8} \left[ y \right]_1^2 = \frac{3}{8}(2 - 1) = \frac{3}{8}

Kesin olasılık değeri, olasılık yoğunluk fonksiyonunun hedef olay bölgesindeki hacmidir.

Sürekli Çok Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ve Olasılık Hesabı

Soru