Bir üretim tesisinde bir vardiyada gerçekleşen makine arızalarının sayısı Y rastgele değiş… — KPSS İstatistik

Bir üretim tesisinde bir vardiyada gerçekleşen makine arızalarının sayısı $Y$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Bu tesisin geçmiş verilerine göre $Y$ 'nin beklenen değeri $E[Y] = 3$ ve varyansı $Var(Y) = 2$ 'dir.

Bir vardiyada üretilen kusurlu ürün sayısı olan $X$ 'in, makine arıza sayısına bağlı olduğu bilinmektedir. Belirli bir arıza sayısı $Y=y$ verildiğinde, kusurlu ürün sayısının koşullu beklenen değeri ve koşullu varyansı sırasıyla aşağıdaki gibi modellenmiştir:

$E[X|Y=y] = 4y$
$Var(X|Y=y) = 5y$

Buna göre, rastgele seçilen bir vardiyadaki toplam kusurlu ürün sayısının varyansı, yani $Var(X)$ kaçtır?

A
15
B
23
C
27
D
32
47Cevap

Cevap

Rastgele seçilen bir vardiyadaki toplam kusurlu ürün sayısının varyansı 47'dir.

Toplam varyans kuralına (Law of Total Variance) göre, koşulsuz varyans formülü

Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])

şeklindedir. Verilen modellere göre birinci terim

E[5Y] = 5 \times 3 = 15

ve ikinci terim

Var(4Y) = 16 \times 2 = 32

olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı bize

15 + 32 = 47

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Toplam Varyans Kuralı'nı (Law of Total Variance) formülize edin.

Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])

Bir rastgele değişkenin koşulsuz varyansı, daima koşullu varyansının beklenen değeri ile koşullu beklenen değerinin varyansının toplamına eşittir.

Formülün ilk bileşeni olan koşullu varyansın beklenen değerini hesaplayın.

E[Var(X|Y)] = E[5Y] = 5E[Y] = 5 \times 3 = 15

Verilen

Var(X|Y=y) = 5y

modeli üzerinden beklenen değer alınmıştır. Beklenen değerin doğrusallığı (

E[aY] = aE[Y]

) gereği sabit çarpan dışarı çıkar.

Formülün ikinci bileşeni olan koşullu beklenen değerin varyansını hesaplayın.

Var(E[X|Y]) = Var(4Y) = 4^2 \times Var(Y) = 16 \times 2 = 32

Verilen

E[X|Y=y] = 4y

modeli üzerinden varyans alınmıştır. Varyansın özellikleri gereği içerideki sabit çarpan karesi alınarak (

Var(aY) = a^2Var(Y)

) dışarı çıkar.

Hesaplanan iki değeri toplayarak

Var(X)

sonucuna ulaşın.

Var(X) = 15 + 32 = 47

Toplam Varyans Kuralı uyarınca her iki bileşen toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Toplam Varyans Kuralı ve Varyans Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular