Bir istatistik uzmanı, X (bağımsız) ve Y (bağımlı) sıralayıcı (ordinal) değişkenleri arası… — KPSS İstatistik

Bir istatistik uzmanı, $X$ (bağımsız) ve $Y$ (bağımlı) sıralayıcı (ordinal) değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Veri setinde uyumlu (concordant) çiftlerin sayısı $N_c$ ve uyumsuz (discordant) çiftlerin sayısı $N_d$ olup, sıfırdan farklı bir ilişki yönü olduğu ( $N_c \neq N_d$ ) bilinmektedir.

Veri setindeki bağlı (tied) gözlemler incelendiğinde;
• Sadece $X$ değişkeninde aynı değeri alan (bağlı) ancak $Y$ değişkeninde farklı değerler alan gözlem çiftlerinin bulunduğu ( $T_X > 0$ ),
• Sadece $Y$ değişkeninde aynı değeri alan ancak $X$ 'te farklı değerler alan hiçbir gözlem çiftinin bulunmadığı ( $T_Y = 0$ )
tespit edilmiştir.

Uzman bu verilerle Goodman-Kruskal Gamma ( $\gamma$ ), Kendall Tau-b ( $\tau_b$ ), $X$ 'in bağımlı olduğu Somers' $d_{X|Y}$ ve $Y$ 'nin bağımlı olduğu Somers' $d_{Y|X}$ katsayılarını hesaplamıştır.

Buna göre, hesaplanan bu istatistiklerin mutlak değerleri arasındaki büyüklük sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|$ Cevap
B
$|d_{X|Y}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{Y|X}|$
C
$|\gamma| > |d_{Y|X}| = |d_{X|Y}| > |\tau_b|$
D
$|\tau_b| > |\gamma| = |d_{Y|X}| > |d_{X|Y}|$
E
$|d_{Y|X}| > |d_{X|Y}| > |\tau_b| = |\gamma|$

Cevap

|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

şeklindeki sıralama doğrudur.

Verilen ordinal ilişki katsayılarında pay her zaman

(N_c - N_d)

olup, katsayıların mutlak büyüklüklerini paydalarındaki bağ (tie) düzeltmeleri belirler. Gamma (

\gamma

) hiçbir bağı dikkate almadığı için paydası en küçük (

N_c + N_d

) ve dolayısıyla mutlak değeri en büyüktür. Y'nin bağımlı olduğu

d_{Y|X}

katsayısında payda

N_c + N_d + T_Y

'dir. Soruda

T_Y = 0

verildiğinden,

d_{Y|X}

'in paydası da

N_c + N_d

olur ve

|d_{Y|X}| = |\gamma|

eşitliği sağlanır. X'in bağımlı olduğu

d_{X|Y}

katsayısının paydası

N_c + N_d + T_X

'tir.

T_X > 0

olduğu için bu payda en büyüktür ve kesrin değeri en küçük olur (

|d_{X|Y}| < |\gamma|

). Kendall Tau-b'nin paydası ise bu iki paydanın geometrik ortalamasıdır. Dolayısıyla

|\tau_b|

, mutlak değerce

|d_{X|Y}|

ile

|d_{Y|X}|

'in tam arasında yer alır. Sonuç olarak

|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

sıralaması kesin olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Katsayıların teorik formüllerindeki paydaları belirle.

Tüm katsayıların payı (

N_c - N_d

) eşittir. Büyüklük ilişkisi tamamen paydalara bağlıdır. Paydalar:

\gamma

için

(N_c + N_d)

d_{Y|X}

için

(N_c + N_d + T_Y)

d_{X|Y}

için

(N_c + N_d + T_X)

\tau_b

için

\sqrt{(N_c + N_d + T_X)(N_c + N_d + T_Y)}

'dir.

İlişki katsayılarının mutlak değeri, paydanın büyüklüğü ile ters orantılıdır.

Verilen

T_Y = 0

koşulunu formüllerde yerine koy.

d_{Y|X}

'in paydası

(N_c + N_d + 0) = N_c + N_d

olur. Bu durumda

d_{Y|X}

'in formülü tamamen

\gamma

ile aynı hale gelir ve

|d_{Y|X}| = |\gamma|

eşitliği kesinleşir.

Bağımsız değişken

X

üzerinde bağlı olmayan çiftlerin sayısı, bağımlı

Y

'de bağ olmadığında toplam uyumlu/uyumsuz çift sayısına eşittir.

T_X > 0

koşulunu kullanarak diğer paydaları karşılaştır.

d_{X|Y}

'nin paydası

(N_c + N_d + T_X)

'tir ve

(N_c + N_d)

'den büyüktür. Dolayısıyla

|d_{X|Y}| < |\gamma|

olur.

Payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.

Kendall

\tau_b

'nin konumunu belirle.

\tau_b

'nin paydası

\sqrt{(N_c + N_d + T_X)(N_c + N_d)}

'dir. Bu değer

(N_c + N_d)

'den büyük,

(N_c + N_d + T_X)

'ten küçüktür. (Yani

d_{Y|X}

d_{X|Y}

paydalarının geometrik ortalamasıdır). Bu da

|\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

sonucunu verir.

\tau_b

, asimetrik iki Somers' d katsayısının geometrik ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Somers' d Asimetrik Katsayı Yapısı ve Payda Hesaplamaları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru