Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir elektronik parçasının ömrü, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(y;β)=1βe−y/β,y>0f(y; \beta) = \frac{1}{\beta} e^{-y/\beta}, \quad y > 0 olan üstel dağılıma uymaktadır. Bu parçalardan rastgele seçilen nn (n>2n > 2) tanesinin ömürleri Y1,Y2,…,YnY_1, Y_2, \dots, Y_n olarak gözlemlenmiştir. Parçanın bozulma oranını ifade eden λ=1β\lambda = \frac{1}{\beta} parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilecek Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    n∑i=1nYi\frac{n}{\sum_{i=1}^n Y_i}
  2. B
    ∑i=1nYi\sum_{i=1}^n Y_i
  3. n−1∑i=1nYi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i}Cevap
  4. D
    n−2∑i=1nYi\frac{n-2}{\sum_{i=1}^n Y_i}
  5. E
    n−1∑i=1nYi2\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i^2}

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin düzeltilmiş hali olan n−1∑i=1nYi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i} ifadesidir.
Üstel dağılımda β\beta için tam ve yeterli istatistik T=∑i=1nYiT = \sum_{i=1}^n Y_i'dir ve Gamma(n,β)\text{Gamma}(n, \beta) dağılımına sahiptir. Bizden λ=1/β\lambda = 1/\beta parametresinin yansız tahmin edicisi istenmektedir. Gamma dağılımının beklenen değer özellikleri kullanılarak E[1/T]E[1/T] hesaplandığında sonuç 1(n−1)β\frac{1}{(n-1)\beta} çıkar. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu, varyansı en küçük olan yansız tahmin edicidir (UMVUE). Bu nedenle ifadeyi (n−1)(n-1) ile çarparak elde edilen n−1∑i=1nYi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i} UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonundan yeterli istatistiği bulmak.
Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre T=∑i=1nYiT = \sum_{i=1}^n Y_i, β\beta parametresi için yeterli istatistiktir.
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu L(β)=1βne−1β∑YiL(\beta) = \frac{1}{\beta^n} e^{-\frac{1}{\beta} \sum Y_i} biçiminde yazılabilir.
2
Yeterli istatistiğin tamlığını (completeness) doğrulamak.
Üstel dağılım düzenli üstel aileye mensup olduğundan T=∑i=1nYiT = \sum_{i=1}^n Y_i aynı zamanda tam bir istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için istatistiğin hem tam hem de yeterli olması gerekir.
3
Yeterli istatistiğin dağılımını belirlemek.
T=∑i=1nYi∼Gamma(n,β)T = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \text{Gamma}(n, \beta) dağılımına uyar.
Bağımsız ve aynı üstel dağılıma sahip rastgele değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.
4
λ=1/β\lambda = 1/\beta için yansız olan g(T)g(T) fonksiyonunu bulmak.
E[1T]=∫0∞1ttn−1e−t/βΓ(n)βndt=Γ(n−1)βn−1Γ(n)βn=1(n−1)β=λn−1E\left[\frac{1}{T}\right] = \int_0^\infty \frac{1}{t} \frac{t^{n-1} e^{-t/\beta}}{\Gamma(n)\beta^n} dt = \frac{\Gamma(n-1)\beta^{n-1}}{\Gamma(n)\beta^n} = \frac{1}{(n-1)\beta} = \frac{\lambda}{n-1} bulunur. Bu eşitlik düzenlenerek E[n−1T]=λE\left[\frac{n-1}{T}\right] = \lambda elde edilir.
UMVUE olabilmesi için tahmin edicinin beklenen değerinin tam olarak tahmin edilmek istenen parametreye eşit (yansız) olması gerekir.

Anahtar Kavram

Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru