Examkin

Soru

Zorluk: ZorLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, parametresi λ>0\lambda > 0 olan Poisson dağılımından alınmış nn (n>1n>1) hacimli rastgele bir örneklem olsun.

Buna göre, kitleden rassal olarak seçilen bir birimin sıfır değerini alma olasılığı olan P(X=0)=e−λP(X = 0) = e^{-\lambda} parametrik fonksiyonunun Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (n−1n)∑i=1nXi\left( \frac{n-1}{n} \right)^{\sum_{i=1}^n X_i}Cevap
  2. B
    e−Xˉe^{-\bar{X}}
  3. C
    1n∑i=1nI(Xi=0)\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i = 0)
  4. D
    (1n)∑i=1nXi\left( \frac{1}{n} \right)^{\sum_{i=1}^n X_i}
  5. E
    (n−1n)Xˉ\left( \frac{n-1}{n} \right)^{\bar{X}}

Cevap

e−λe^{-\lambda} için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) (n−1n)∑i=1nXi\left( \frac{n-1}{n} \right)^{\sum_{i=1}^n X_i} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametrenin veya parametrik fonksiyonun UMVUE'si, o fonksiyon için yansız olan bir tahmin edicinin tam ve yeterli istatistiğe göre koşullu beklenen değeri (Rao-Blackwell yöntemi) alınarak bulunur. Poisson dağılımında T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği tam ve yeterlidir. W=I(X1=0)W = I(X_1 = 0) yansız tahmin edici olarak seçilip, E[W∣T=t]E[W | T = t] hesaplandığında sonuç (n−1n)T\left( \frac{n-1}{n} \right)^T çıkar. Bu ifade yansızdır ve tam yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olduğu için benzersiz (unique) UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
λ\lambda parametresi için tam ve yeterli istatistiği belirlemek.
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i tam ve yeterli istatistiktir ve dağılımı T∼Poisson(nλ)T \sim Poisson(n\lambda) şeklindedir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.
2
e−λe^{-\lambda} için basit bir yansız tahmin edici bulmak.
W=I(X1=0)W = I(X_1 = 0) (yani X1=0X_1 = 0 ise 11, aksi halde 00) alındığında, E[W]=P(X1=0)=e−λE[W] = P(X_1 = 0) = e^{-\lambda} olur.
Rao-Blackwelllaştırma işlemi için başlangıç noktası olarak herhangi bir yansız tahmin ediciye ihtiyaç vardır.
3
Rao-Blackwell teoremini uygulayarak koşullu beklenen değeri hesaplamak.
ϕ(T)=E[W∣T=t]=P(X1=0∣∑i=1nXi=t)\phi(T) = E[W | T = t] = P(X_1 = 0 | \sum_{i=1}^n X_i = t) olasılığı hesaplanmalıdır.
Tam ve yeterli istatistiğe göre koşullandırma yapılarak varyans küçültülür.
4
Koşullu olasılık formülünü açmak ve bağımsızlık özelliğini kullanmak.
P(X1=0∣∑i=1nXi=t)=P(X1=0)⋅P(∑i=2nXi=t)P(∑i=1nXi=t)P(X_1 = 0 | \sum_{i=1}^n X_i = t) = \frac{P(X_1 = 0) \cdot P(\sum_{i=2}^n X_i = t)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}
Örneklem birimleri bağımsız olduğundan ortak olasılık çarpım şeklinde yazılabilir.
5
İlgili Poisson olasılıklarını formülde yerine koymak.
e−λ⋅[e−(n−1)λ((n−1)λ)t/t!]e−nλ(nλ)t/t!=e−nλ((n−1)λ)te−nλ(nλ)t=(n−1)tnt=(n−1n)t\frac{e^{-\lambda} \cdot \left[ e^{-(n-1)\lambda} ((n-1)\lambda)^t / t! \right]}{e^{-n\lambda} (n\lambda)^t / t!} = \frac{e^{-n\lambda} ((n-1)\lambda)^t}{e^{-n\lambda} (n\lambda)^t} = \frac{(n-1)^t}{n^t} = \left( \frac{n-1}{n} \right)^t
Olasılıkların oranlanması sonucunda elde edilen ifade sadece yeterli istatistik tt'ye bağlı bir fonksiyon olur.
6
Lehmann-Scheffe teoremi ile sonucu bağlamak.
ϕ(T)=(n−1n)∑i=1nXi\phi(T) = \left( \frac{n-1}{n} \right)^{\sum_{i=1}^n X_i} benzersiz UMVUE'dir.
Bulunan tahmin edici tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonudur ve yansızdır.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında tam ve yeterli istatistik kullanılarak Rao-Blackwell yöntemi ve Lehmann-Scheffe teoremi ile UMVUE elde edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru