Examkin

Soru

Zorluk: ZorLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, (0,θ)(0, \theta) aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip bir kitleden alınan nn hacimli (n≥2n \geq 2) bir rastgele örneklemi göstermektedir.

Buna göre, kitlenin varyansı olan Var(X)=θ212Var(X) = \frac{\theta^2}{12} parametresi için Lehmann-Scheffe teoremine göre Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) sıralı istatistiği ifade etmektedir.)

  1. n+212nX(n)2\frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2Cevap
  2. B
    S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  3. C
    112X(n)2\frac{1}{12} X_{(n)}^2
  4. D
    (n+1)212n2X(n)2\frac{(n+1)^2}{12n^2} X_{(n)}^2
  5. E
    n+112nX(n)2\frac{n+1}{12n} X_{(n)}^2

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) \frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2 şeklindedir.
Düzgün dağılımda X(n)X_{(n)} istatistiği θ\theta için tam ve yeterli istatistiktir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, bu istatistiğin yansız olan herhangi bir fonksiyonu hedeflenen parametre için UMVUE'dir. E[X(n)2]=nn+2θ2E[X_{(n)}^2] = \frac{n}{n+2}\theta^2 eşitliğinden yola çıkarak, ifadenin tamamı n+2n\frac{n+2}{n} ile çarpıldığında θ2\theta^2'nin yansız tahmin edicisi bulunur. Kitle varyansı θ212\frac{\theta^2}{12} olduğundan, bu tahmin edicinin 1/12'si alınarak varyansın UMVUE'si n+212nX(n)2\frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle dağılımı için tam ve yeterli istatistiği belirlemek.
Uniform(0, \theta) dağılımında Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre T=X(n)=max⁡(Xi)T = X_{(n)} = \max(X_i) istatistiği tam ve yeterlidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman UMVUE'dir.
2
Yeterli istatistik olan X(n)X_{(n)}'in olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) yazmak.
fX(n)(t)=ntn−1θn,0<t<θf_{X_{(n)}}(t) = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n}, \quad 0 < t < \theta
Beklenen değeri hesaplayarak yansızlaştırma işlemini yapabilmek için istatistiğin dağılımına ihtiyaç vardır.
3
X(n)2X_{(n)}^2'nin beklenen değerini hesaplayarak θ2\theta^2 için yansız bir tahmin edici bulmak.
E[X(n)2]=∫0θt2ntn−1θndt=nθn[tn+2n+2]0θ=nn+2θ2E[X_{(n)}^2] = \int_0^\theta t^2 \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = \frac{n}{\theta^n} \left[ \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^\theta = \frac{n}{n+2} \theta^2
Varyans parametresi Var(X)=θ2/12Var(X) = \theta^2 / 12 olduğundan, θ2\theta^2 terimini tahmin etmemiz gerekir.
4
Beklenen değerden yola çıkarak varyans için UMVUE formunu elde etmek.
E[n+2nX(n)2]=θ2E\left[ \frac{n+2}{n} X_{(n)}^2 \right] = \theta^2 bulunur. Varyans θ212\frac{\theta^2}{12} olduğu için eşitlik 12'ye bölünür: E[n+212nX(n)2]=θ212E\left[ \frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2 \right] = \frac{\theta^2}{12}
Tam ve yeterli istatistiğin yansız hale getirilmiş bu fonksiyonu Lehmann-Scheffe teoremine göre yegâne UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi, Düzgün Dağılımda Yeterli İstatistik ve Beklenen Değer

Alternatif Yöntem

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak S2S^2 yansız tahmin edicisinin, yeterli istatistik olan X(n)X_{(n)} bilindiğindeki koşullu beklenen değeri (E[S2∣X(n)]E[S^2 | X_{(n)}]) alınarak da aynı UMVUE sonucuna ulaşılabilir. Ancak bu yöntemde integral hesaplamaları daha karmaşıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru