Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir kimyasal reaksiyonun başlama süresi (saniye cinsinden) XX rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere, aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)={e−(x−θ),x≥θ0,dig˘erf(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Bu reaksiyon için aynı koşullar altında birbirinden bağımsız nn (n≥2n \geq 2) farklı ölçüm yapılmış ve X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi elde edilmiştir.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak bulunacak olan θ\theta parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Burada X(1)=min⁡(X1,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n) ve Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasıdır.)

  1. X(1)−1nX_{(1)} - \frac{1}{n}Cevap
  2. B
    X(1)X_{(1)}
  3. C
    Xˉ−1\bar{X} - 1
  4. D
    Xˉ\bar{X}
  5. E
    X(n)−1nX_{(n)} - \frac{1}{n}

Cevap

X(1)−1nX_{(1)} - \frac{1}{n} ifadesi θ\theta için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu oluşturulmalıdır. Olabilirlik fonksiyonu L(θ)=e−∑xienθI(X(1)≥θ)L(\theta) = e^{-\sum x_i} e^{n\theta} I(X_{(1)} \geq \theta) formunda çarpanlarına ayrıldığından, en küçük sıra istatistiği olan X(1)X_{(1)} tam ve yeterli istatistiktir. X(1)X_{(1)}'in dağılımı incelendiğinde ortalamasının E[X(1)]=θ+1nE[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n} olduğu görülür. Yansız bir tahmin edici elde etmek için bu ifadeden 1n\frac{1}{n} çıkarıldığında E[X(1)−1n]=θE[X_{(1)} - \frac{1}{n}] = \theta eşitliği sağlanır. Tam ve yeterli istatistiğin yansız fonksiyonu olduğu için bu ifade UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu yazarak Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile yeterli istatistiği belirlemek.
L(θ)=∏i=1ne−(xi−θ)I(xi≥θ)=e−∑xienθI(X(1)≥θ)L(\theta) = \prod_{i=1}^n e^{-(x_i-\theta)} I(x_i \geq \theta) = e^{-\sum x_i} e^{n\theta} I(X_{(1)} \geq \theta) elde edilir. Bu fonksiyonda parametreye bağlı kısım X(1)X_{(1)}'i içerdiğinden, T=X(1)T = X_{(1)} tam ve yeterli istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için öncelikle tam ve yeterli bir istatistik bulunmalıdır.
2
Yeterli istatistiğin (X(1)X_{(1)}) kümülatif dağılım fonksiyonundan faydalanarak beklenen değerini hesaplamak.
P(X(1)>t)=P(X1>t)n=(e−(t−θ))n=e−n(t−θ)P(X_{(1)} > t) = P(X_1 > t)^n = \left(e^{-(t-\theta)}\right)^n = e^{-n(t-\theta)} olduğundan X(1)∼Kaydırılmıs¸ U¨stel(θ,n)X_{(1)} \sim \text{Kaydırılmış Üstel}(\theta, n) dağılır. Beklenen değeri E[X(1)]=θ+1nE[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n} olarak bulunur.
UMVUE olabilmesi için tahmin edicinin yansız (beklenen değerinin aranan parametreye eşit) olması zorunludur.
3
Beklenen değerdeki yan miktarını düzelterek (yansızlaştırma) Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE'yi elde etmek.
E[X(1)−1n]=θE\left[X_{(1)} - \frac{1}{n}\right] = \theta eşitliği sağlanır. X(1)−1nX_{(1)} - \frac{1}{n} tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu ve yansız olduğu için UMVUE'dir.
Tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonu, Lehmann-Scheffe teoremine göre tek ve düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Kaydırılmış Üstel Dağılımda Yeterli İstatistik ve Lehmann-Scheffe Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru