Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n kitle ortalaması 00 ve varyansı θ\theta (θ>0\theta > 0) olan normal dağılımdan alınan nn (n≥2n \geq 2) hacimli bir rastgele örneklem olsun.

Buna göre, θ2\theta^2 parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (∑i=1nXi2)2n(n+2)\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n+2)}Cevap
  2. B
    (∑i=1nXi2)2n2\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n^2}
  3. C
    ∑i=1nXi43n\frac{\sum_{i=1}^n X_i^4}{3n}
  4. D
    (∑i=1n(Xi−Xˉ)2)2n2−1\frac{(\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2)^2}{n^2-1}
  5. E
    (∑i=1nXi2)2n(n−1)\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n-1)}

Cevap

Düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin ikinci momentinden türetilen formüldür.
Normal dağılımda kitle ortalaması bilindiğinde (00), varyans parametresi θ\theta için tam ve yeterli istatistik T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 toplamıdır. T/θ∼χn2T/\theta \sim \chi^2_n dağılımına sahiptir. Ki-kare dağılımının ikinci momenti E[(T/θ)2]=n(n+2)E[(T/\theta)^2] = n(n+2)'dir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman UMVUE'dir. Bu nedenle E[T2n(n+2)]=θ2E[\frac{T^2}{n(n+2)}] = \theta^2 eşitliğinden yola çıkarak elde edilen (∑i=1nXi2)2n(n+2)\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n+2)} ifadesi θ2\theta^2 için UMVUE olur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonu (likelihood) yazılarak yeterli istatistiğin belirlenmesi.
f(x;θ)∼N(0,θ)f(x;\theta) \sim N(0, \theta) için olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 istatistiğinin tam ve yeterli (complete and sufficient) istatistik olduğu görülür.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE, her zaman tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.
2
Yeterli istatistiğin dağılımının ve momentlerinin belirlenmesi.
Xi∼N(0,θ)X_i \sim N(0, \theta) olduğundan, Xi/θ∼N(0,1)X_i/\sqrt{\theta} \sim N(0,1) olur. Bu durumda standart normal değişkenlerin kareleri toplamından yola çıkarak T/θ=∑i=1n(Xi/θ)2∼χn2T/\theta = \sum_{i=1}^n (X_i/\sqrt{\theta})^2 \sim \chi^2_n (n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı) elde edilir.
Tahmin edicinin yansız olabilmesi için TT'nin karesinin beklenen değerine (ikinci momentine) ihtiyaç vardır.
3
Ki-kare dağılımının momentlerinden yararlanarak yansız tahmin edicinin oluşturulması.
Bir Y∼χn2Y \sim \chi^2_n değişkeni için E[Y]=nE[Y] = n ve Var(Y)=2nVar(Y) = 2n'dir. Buradan E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2=2n+n2=n(n+2)E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 2n + n^2 = n(n+2) olur. E[(T/θ)2]=n(n+2)E[(T/\theta)^2] = n(n+2) denkleminden E[T2n(n+2)]=θ2E[\frac{T^2}{n(n+2)}] = \theta^2 bulunur.
TT tam ve yeterli istatistik olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremine göre elde edilen bu yansız tahmin edici θ2\theta^2 için UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Tam Yeterli İstatistik
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru