Bir sigorta şirketine belirli bir saat diliminde gelen hasar ihbarlarının sayısı, parametr… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketine belirli bir saat diliminde gelen hasar ihbarlarının sayısı, parametresi $\lambda > 0$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu süreçten $n$ ( $n > 1$ ) saatlik rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

Sigorta şirketi, rastgele seçilen belirli bir saatte tam olarak 1 (bir) adet hasar ihbarı gelme olasılığını tahmin etmek istemektedir. Kitleye ait bu olasılık $P(X = 1) = \lambda e^{-\lambda}$ formülü ile verilmektedir.

Buna göre, $P(X = 1)$ parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Burada $T = \sum_{i=1}^n X_i$ yeterli ve tam istatistiği göstermektedir.)

A
$\left(\frac{n-1}{n}\right)^T$
B
$\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^T$
$\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}$ Cevap
D
$\frac{T}{n} e^{-T/n}$
E
$\frac{1}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}$

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE),

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

ifadesidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre; tam ve yeterli bir istatistiğin (burada T), herhangi bir yansız tahmin edici üzerinden Rao-Blackwell teoremine sokulmasıyla (koşullu beklenen değerinin alınmasıyla) elde edilen yeni tahmin edici, o parametre için eşsiz Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE).

P(X=1)

'in en basit yansız tahmin edicisi olan

I(X_1=1)

fonksiyonu, tam ve yeterli olan

T

toplamına koşullandırıldığında matematiksel olarak

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

ifadesine sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

Poisson dağılımı için tam ve yeterli istatistiğin belirlenmesi.

T = \sum_{i=1}^n X_i \sim Poisson(n\lambda)

kitle için tam ve yeterli bir istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak için parametreyi barındıran tam ve yeterli istatistiğe ihtiyaç duyulur.

P(X = 1) = \lambda e^{-\lambda}

parametresi için basit bir yansız tahmin edici bulunması.

I(X_1 = 1)

gösterge fonksiyonu tanımlanır.

E[I(X_1 = 1)] = P(X_1 = 1) = \lambda e^{-\lambda}

olduğundan,

I(X_1 = 1)

yansız bir tahmin edicidir.

Rao-Blackwelllaştırma yapabilmek için öncelikle parametrenin yansız bir tahmin edicisi gereklidir.

Bulunan yansız tahmin edicinin, tam ve yeterli istatistik

T

verildiğinde koşullu beklenen değerinin hesaplanması.

E[I(X_1 = 1) | T = t] = P(X_1 = 1 | \sum_{i=1}^n X_i = t) = \frac{P(X_1 = 1, \sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}

formülü yazılır.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, bu koşullu beklenen değer doğrudan UMVUE'yi verir.

Koşullu olasılık ifadesindeki dağılımların yerine konularak sonucun

T

n

cinsinden sadeleştirilmesi.

Pay:

(\lambda e^{-\lambda}) \cdot \frac{((n-1)\lambda)^{t-1} e^{-(n-1)\lambda}}{(t-1)!}

Payda:

\frac{(n\lambda)^t e^{-n\lambda}}{t!}

İki ifade oranlanıp sadeleştirildiğinde

\frac{t}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{t-1}

bulunur.

UMVUE sadece gözlemlenebilen

n

T

değerlerine bağlı olmalı, bilinmeyen

\lambda

parametresini içermemelidir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Rao-Blackwelllaştırma

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru