Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen fiber optik kabloların kopma gerilimlerini (megapascal cinsinden) incelemektedir. Kabloların kopma gerilimi olan XX rastgele değişkeninin, θ>0\theta > 0 ölçek parametresine sahip Rayleigh dağılımına uyduğu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu bilinmektedir:

f(x;θ)=xθ2e−x22θ2,x>0f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

Mühendis, nn birimlik rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) üzerinden θ2\theta^2 parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemini kullanarak bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, θ2\theta^2 parametresi için aralık tahmininde kullanılabilecek geçerli eksen fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Q=∑i=1nXi2θ2Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2}Cevap
  2. B
    Q=(n−1)S2θ2Q = \frac{(n-1)S^2}{\theta^2}
  3. C
    Q=Xˉ−θS/nQ = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}}
  4. D
    Q=∑i=1nXiθ2Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\theta^2}
  5. E
    Q=∑i=1nXi2θQ = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta}

Cevap

Verilen dağılımda parametreden bağımsız bir istatistik elde etmek için dönüşüm yapıldığında Q = \sum X_i^2 / \theta^2 ifadesinin geçerli eksen fonksiyonu olduğu görülür.
Verilen Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonunda x'in karesi ile \theta'nın karesi orantılı bir şekilde bulunmaktadır. Bir fonksiyonun eksen fonksiyonu olabilmesi için olasılık dağılımının bilinmeyen parametreden bağımsız olması gerekir. X_i^2 / \theta^2 dönüşümü yapıldığında bu oran standart bir olasılık dağılımına (Ki-kare veya Üstel) uyar ve \theta'dan arınır. Bu terimlerin toplamı da parametreden bağımsız olacağı için güven aralığı oluşturulmasında doğrudan eksen fonksiyonu olarak kullanılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eksen (pivot) fonksiyonunun temel tanımını hatırlama.
Bir Q(X, \theta) fonksiyonunun eksen fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen \theta parametresinden tamamen bağımsız olması gerektiği tespit edilir.
Güven aralığı sınırlarını hesaplayabilmek için tablolardan elde edilecek kritik değerlerin bilinmeyen parametreye bağlı olmaması şarttır.
2
Verilen Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonunu inceleme.
f(x; \theta) fonksiyonundaki üstel terimin -x^2 / (2\theta^2) olduğu görülür.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yapısı, hangi dönüşümün dağılımı parametreden arındıracağına dair en güçlü ipucunu verir.
3
Dağılımı parametreden bağımsızlaştıracak matematiksel dönüşümü belirleme.
Y_i = X_i^2 / \theta^2 dönüşümü yapıldığında, elde edilen yeni değişkenin dağılımının parametreden bağımsız olan standart bir dağılıma (Üstel veya Ki-kare) dönüştüğü görülür.
Rastgele değişkenin karesi alınıp parametrenin karesine bölündüğünde ölçek parametresi sadeleşir.
4
Örneklem toplamı üzerinden eksen fonksiyonunu oluşturma.
Q = \sum_{i=1}^n (X_i^2 / \theta^2) fonksiyonunun dağılımı, bağımsız ve aynı dağılımlı değişkenlerin toplamı olduğundan yine parametreden bağımsızdır (2n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı).
n birimlik örneklem için tüm gözlemlerin bilgi katkısını içeren ve dağılımı tamamen bilinen bir Q fonksiyonu inşa edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Tanımı ve Dönüşüm Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru