Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

İstatistik teorisinde iki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için gerekli olan en temel geometrik şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesinin (tanım aralığı) bir dikdörtgen veya kartezyen çarpım formunda olmasıdır. Buna göre, XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri için aşağıda tanımlanan destek kümelerinden hangisi bu iki değişkenin bağımlı (bağımsız olmayan) olduğunu kesin olarak gösterir?

  1. A
    0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1 aralığında tanımlı olması
  2. B
    x>0x > 0 ve y>0y > 0 bölgesinde tanımlı olması
  3. 0<x<y<10 < x < y < 1 şeklinde bir üçgensel bölge olmasıCevap
  4. D
    Kovaryans değerinin sıfır (Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0) olması
  5. E
    Beklenen değerlerin birbirine eşit (E[X]=E[Y]E[X] = E[Y]) olması

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesinin 0<x<y<10 < x < y < 1 şeklinde bir üçgensel bölge olması, değişkenlerin bağımlı olduğunu kesin olarak kanıtlar.
Bağımsız rastgele değişkenler için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (destek kümesi), değişkenlerin bireysel tanım aralıklarının kartezyen çarpımı olmalıdır. Üçgensel bir bölgede (0<x<y<10 < x < y < 1), xx değişkeninin üst sınırı olan yy, sabit bir sayı değil bir değişkendir. Bu durum, XX'in alabileceği değerlerin YY'nin değerine göre kısıtlandığını gösterir ve çarpanlara ayrılma özelliğini bozarak kesin bağımlılığa yol açar.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık şartını hatırla
f(X,Y)=fX(x)×fY(y)f(X,Y) = f_X(x) \times f_Y(y) olmalıdır.
İki değişkenin bağımsız olması için ortak yoğunluk fonksiyonunun, marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılabilmesi gerekir.
2
Geometrik destek kümesi kuralını uygula
Bağımsız değişkenlerin destek kümesi her zaman [a,b]×[c,d][a, b] \times [c, d] şeklinde bir dikdörtgen olmalıdır.
Eğer xx'in sınırları yy'ye bağlıysa (veya tersi), fonksiyon marjinal fonksiyonların çarpımı şeklinde çarpanlarına ayrılamaz.
3
Üçgensel bölgeyi analiz et
0<x<y<10 < x < y < 1 aralığında xx'in sınırları sabit değildir, yy'ye bağlıdır.
xx değişkeni sadece 00 ile yy arasındaki değerleri alabilmektedir. yy'nin değeri değiştikçe xx'in alabileceği değerler kümesi de değiştiği için değişkenler bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesi her zaman bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım) formunda olmalıdır. Sınırların birbirine bağımlı olduğu (üçgen, daire vb.) bölgeler doğrudan bağımlılığı gösterir.
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı