Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir sigorta şirketinde, belirli bir poliçe türü için hasar talebi gelene kadar geçen gün sayısı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, başarı olasılığı p∈(0,1)p \in (0,1) olan geometrik dağılıma sahip bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem olsun. Geometrik dağılımın olasılık kütle fonksiyonu

f(x;p)=p(1−p)x−1,x=1,2,3,…f(x; p) = p(1-p)^{x-1}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

olarak verilmektedir.

Buna göre, τ(p)=p1−p\tau(p) = \frac{p}{1-p} fonksiyonunun yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    p2n(1−p)\frac{p^2}{n(1-p)}
  2. B
    p2(1−p)n\frac{p^2(1-p)}{n}
  3. p2n(1−p)3\frac{p^2}{n(1-p)^3}Cevap
  4. D
    p2(1−p)3\frac{p^2}{(1-p)^3}
  5. E
    p2n(1−p)4\frac{p^2}{n(1-p)^4}

Cevap

p2n(1−p)3\frac{p^2}{n(1-p)^3}
Cramer-Rao alt sınırını τ(p)\tau(p) gibi bir fonksiyon için bulmak istediğimizde pay kısmına fonksiyonun türevinin karesi [τ′(p)]2[\tau'(p)]^2, payda kısmına ise nn hacimli örneklem için Fisher bilgi miktarı In(p)I_n(p) yazılır. Geometrik dağılım için log-olabilirliğin ikinci türevinin beklenen değeri üzerinden Fisher bilgi miktarı In(p)=np2(1−p)I_n(p) = \frac{n}{p^2(1-p)} olarak bulunur. τ(p)=p1−p\tau(p) = \frac{p}{1-p} fonksiyonunun türevi ise zincir kuralı/bölümün türevi uygulanarak 1(1−p)2\frac{1}{(1-p)^2} olarak elde edilir. Bu iki değer [τ′(p)]2In(p)\frac{[\tau'(p)]^2}{I_n(p)} formülünde yerine konulduğunda Cramer-Rao alt sınırı p2n(1−p)3\frac{p^2}{n(1-p)^3} şeklinde doğru olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x;p)f(x; p) olasılık kütle fonksiyonunun doğal logaritması alınır ve parametre pp'ye göre birinci ve ikinci türevleri hesaplanır.
ln⁡f(x;p)=ln⁡p+(x−1)ln⁡(1−p)\ln f(x; p) = \ln p + (x-1)\ln(1-p), ve ∂2∂p2ln⁡f(x;p)=−1p2−x−1(1−p)2\frac{\partial^2}{\partial p^2} \ln f(x; p) = -\frac{1}{p^2} - \frac{x-1}{(1-p)^2}
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirliğin ikinci türevinin beklenen değerine ihtiyaç vardır.
2
İkinci türevin beklenen değerinin negatifi alınarak tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı (I(p)I(p)) bulunur ve nn ile çarpılarak nn hacimli örneklem için In(p)I_n(p) elde edilir.
E[X]=1pE[X] = \frac{1}{p} kullanılarak I(p)=−E[−1p2−X−1(1−p)2]=1p2+1p−1(1−p)2=1p2(1−p)I(p) = -E\left[-\frac{1}{p^2} - \frac{X-1}{(1-p)^2}\right] = \frac{1}{p^2} + \frac{\frac{1}{p}-1}{(1-p)^2} = \frac{1}{p^2(1-p)} bulunur. Buradan In(p)=np2(1−p)I_n(p) = \frac{n}{p^2(1-p)} elde edilir.
Cramer-Rao alt sınırının paydasını oluşturmak için nn hacimli örneklemin Fisher bilgi miktarı gereklidir.
3
Tahmin edilecek τ(p)=p1−p\tau(p) = \frac{p}{1-p} fonksiyonunun parametre pp'ye göre türevi (τ′(p)\tau'(p)) alınır.
τ′(p)=1⋅(1−p)−p⋅(−1)(1−p)2=1(1−p)2\tau'(p) = \frac{1\cdot(1-p) - p\cdot(-1)}{(1-p)^2} = \frac{1}{(1-p)^2}
Parametrenin bir fonksiyonunun tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırının payı [τ′(p)]2[\tau'(p)]^2 ifadesinden oluşur.
4
Hesaplanan değerler, bir fonksiyon için Cramer-Rao alt sınırı formülü olan [τ′(p)]2In(p)\frac{[\tau'(p)]^2}{I_n(p)} içinde yerine konulur.
CRLB =(1(1−p)2)2np2(1−p)=1(1−p)4⋅p2(1−p)n=p2n(1−p)3= \frac{\left(\frac{1}{(1-p)^2}\right)^2}{\frac{n}{p^2(1-p)}} = \frac{1}{(1-p)^4} \cdot \frac{p^2(1-p)}{n} = \frac{p^2}{n(1-p)^3}
Yansız bir tahmin edicinin varyansının alabileceği en küçük değeri (Cramer-Rao alt sınırı) nihai olarak belirlemek için genel formül uygulanır.

Anahtar Kavram

Parametrenin Bir Fonksiyonu İçin Cramer-Rao Alt Sınırı
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru