Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir bölgedeki günlük maksimum rüzgar hızları (m/s), XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekildedir:

f(x;θ)={xθ2e−x22θ2,x>00,dig˘er durumlardaf(x;\theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

(Bilgi: Bu dağılım için E(X)=θπ2E(X) = \theta \sqrt{\frac{\pi}{2}} ve E(X2)=2θ2E(X^2) = 2\theta^2 olduğu bilinmektedir.)

Bu bölgeden rastgele seçilen nn günlük rüzgar hızlarından oluşan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi kullanılarak, rüzgar hızının beklenen değeri (E(X)E(X)) için yansız bir tahmin edici elde edilmek isteniyor.

Buna göre, bu yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. πθ28n\frac{\pi \theta^2}{8n}Cevap
  2. B
    πθ24n\frac{\pi \theta^2}{4n}
  3. C
    θ24n\frac{\theta^2}{4n}
  4. D
    πθ28\frac{\pi \theta^2}{8}
  5. E
    πθ210n\frac{\pi \theta^2}{10n}

Cevap

Doğru cevap πθ28n\frac{\pi \theta^2}{8n} ifadesini içeren seçenektir.
Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) hesabı için öncelikle Fisher bilgi miktarı (I(θ)I(\theta)) bulunur. Dağılımın log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin eksi işaretlisi 4/θ24/\theta^2 olarak hesaplanır. nn çaplı örneklem için toplam bilgi miktarı, bağımsızlık özelliğinden ötürü nn ile çarpılarak 4n/θ24n/\theta^2 bulunur. İlgilenilen parametre fonksiyonu rüzgar hızının beklenen değeri olan τ(θ)=θπ/2\tau(\theta) = \theta \sqrt{\pi/2} olduğundan, formülün pay kısmına bu fonksiyonun türevinin karesi olan π/2\pi/2 değeri yerleştirilir. Payı paydaya böldüğümüzde ise alt sınır teorik olarak πθ28n\frac{\pi \theta^2}{8n} şeklinde hesaplanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını (log-olabilirlik) alınız.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡(x)−2ln⁡(θ)−x22θ2\ln f(x;\theta) = \ln(x) - 2\ln(\theta) - \frac{x^2}{2\theta^2}
Fisher bilgi miktarını bulmak için log-olabilirlik fonksiyonunun türevlerine ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta parametresine göre birinci ve ikinci derece türevlerini hesaplayınız.
Birinci türev: −2θ+x2θ3-\frac{2}{\theta} + \frac{x^2}{\theta^3}
İkinci türev: 2θ2−3x2θ4\frac{2}{\theta^2} - \frac{3x^2}{\theta^4}
Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı, ikinci türevin beklenen değerinin eksi işaretlisine eşittir.
3
İkinci türevin beklenen değerini bularak nn çaplı örneklem için Fisher bilgi miktarını (In(θ)I_n(\theta)) hesaplayınız.
−E[2θ2−3X2θ4]=−(2θ2−3(2θ2)θ4)=4θ2-E\left[\frac{2}{\theta^2} - \frac{3X^2}{\theta^4}\right] = -\left(\frac{2}{\theta^2} - \frac{3(2\theta^2)}{\theta^4}\right) = \frac{4}{\theta^2}.
nn çaplı örneklem için In(θ)=4nθ2I_n(\theta) = \frac{4n}{\theta^2} olur.
Cramer-Rao eşitsizliğinin paydasını oluşturmak için tüm örneklemin sağladığı bilgi miktarı bulunmalıdır.
4
Tahmin edilmesi istenen parametre fonksiyonunun (τ(θ)\tau(\theta)) türevini ve bu türevin karesini bulunuz.
İstenen fonksiyon: τ(θ)=E(X)=θπ2\tau(\theta) = E(X) = \theta \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
τ′(θ)=π2\tau'(\theta) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} ve [τ′(θ)]2=π2[\tau'(\theta)]^2 = \frac{\pi}{2} elde edilir.
Tahmin edici, doğrudan θ\theta değil E(X)E(X) olduğu için hedef fonksiyonun değişimi alt sınırı etkiler.
5
Elde edilen değerleri Cramer-Rao alt sınırı formülünde yerine koyunuz.
CRLB=[τ′(θ)]2In(θ)=π/24n/θ2=πθ28nCRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{\pi/2}{4n/\theta^2} = \frac{\pi \theta^2}{8n}
Bu sonuç, yansız tahmin edicinin alabileceği teorik minimum varyans değerini (alt sınırı) ifade eder.

Anahtar Kavram

Tahmin edilecek bir fonksiyon için Cramer-Rao Alt Sınırının (CRLB) Fisher Bilgi Miktarı kullanılarak hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru