Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir nükleer reaktördeki soğutma suyunun sıcaklık dalgalanmaları, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir:

f(x;θ)={x3e−x/θ6θ4,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x^3 e^{-x/\theta}}{6\theta^4}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu reaktörden alınan nn çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem temelinde, g(θ)=1θg(\theta) = \frac{1}{\theta} fonksiyonunun yansız bir tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    14θ2\frac{1}{4\theta^2}
  2. B
    1nθ4\frac{1}{n\theta^4}
  3. C
    θ24n\frac{\theta^2}{4n}
  4. 14nθ2\frac{1}{4n\theta^2}Cevap
  5. E
    1nθ2\frac{1}{n\theta^2}

Cevap

İstenen yansız tahmin edici için Cramer-Rao alt sınırı 14nθ2\frac{1}{4n\theta^2} olarak bulunur.
Verilen dağılım Gamma(4, θ\theta) dağılımıdır. Bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin eksi beklenen değeri Fisher bilgisini 4/θ24/\theta^2 olarak verir. nn çaplı örneklem için bu değer 4n/θ24n/\theta^2 olur. g(θ)=1/θg(\theta) = 1/\theta fonksiyonunun tahmin edicisine ilişkin Cramer-Rao alt sınırı ise formül gereği [g′(θ)]2/In(θ)[g'(\theta)]^2 / I_n(\theta) işleminden (1/θ4)/(4n/θ2)=1/(4nθ2)(1/\theta^4) / (4n/\theta^2) = 1/(4n\theta^2) şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen dağılımın log-olabilirlik fonksiyonunu tek bir gözlem için yazın.
ln⁡f(x;θ)=3ln⁡(x)−xθ−ln⁡(6)−4ln⁡(θ)\ln f(x; \theta) = 3\ln(x) - \frac{x}{\theta} - \ln(6) - 4\ln(\theta)
Fisher bilgi matrisine ulaşmak için öncelikle fonksiyonun logaritmasının alınması gerekir.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevini alın.
∂∂θln⁡f=xθ2−4θ\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = \frac{x}{\theta^2} - \frac{4}{\theta} ve ∂2∂θ2ln⁡f=−2xθ3+4θ2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f = -\frac{2x}{\theta^3} + \frac{4}{\theta^2}
Fisher bilgi değeri I(θ)=−E[∂2∂θ2ln⁡f(X;θ)]I(\theta) = -E\left[ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f(X; \theta) \right] formülüyle hesaplanır.
3
X'in beklenen değerini bularak tek gözlem için Fisher Bilgisini hesaplayın.
X∼Gamma(α=4,β=θ)X \sim \text{Gamma}(\alpha=4, \beta=\theta) olduğundan E[X]=4θE[X] = 4\theta'dır. I(θ)=−E[−2Xθ3+4θ2]=2(4θ)θ3−4θ2=8θ2−4θ2=4θ2I(\theta) = -E\left[ -\frac{2X}{\theta^3} + \frac{4}{\theta^2} \right] = \frac{2(4\theta)}{\theta^3} - \frac{4}{\theta^2} = \frac{8}{\theta^2} - \frac{4}{\theta^2} = \frac{4}{\theta^2}
İkinci türevin eksi beklenen değeri, bir birimlik bilginin (Information) miktarını verir.
4
nn çaplı örneklem için toplam Fisher Bilgisini bulun.
In(θ)=n⋅I(θ)=4nθ2I_n(\theta) = n \cdot I(\theta) = \frac{4n}{\theta^2}
Bağımsız örneklemlerde toplam bilgi, tekil bilgilerin toplamına (n katına) eşittir.
5
İstenen g(θ)=1θg(\theta) = \frac{1}{\theta} fonksiyonunun türevinin karesini alın.
g′(θ)=−1θ2  ⟹  [g′(θ)]2=1θ4g'(\theta) = -\frac{1}{\theta^2} \implies [g'(\theta)]^2 = \frac{1}{\theta^4}
Parametrenin bir fonksiyonunun tahmin edicisi söz konusu olduğunda Cramer-Rao alt sınırı payında fonksiyonun türevinin karesini barındırır.
6
Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) formülünü uygulayın.
CRLB=[g′(θ)]2In(θ)=1/θ44n/θ2=14nθ2CRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{1/\theta^4}{4n/\theta^2} = \frac{1}{4n\theta^2}
Dönüştürülmüş parametrenin alt sınırına ulaşmak için gerekli işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru