Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir elektronik cihazın kritik bir parçasının ömrü (saat cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 parametresi için aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

Bu parçalardan rastgele seçilen nn tanesinin ömürleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemini oluşturmaktadır.

Buna göre, parçanın t0t_0 saatten daha uzun süre çalışma olasılığını ifade eden R(t0)=e−t0/θR(t_0) = e^{-t_0/\theta} güvenilirlik (reliability) fonksiyonunun herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. t02e−2t0/θnθ2\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}Cevap
  2. B
    e−2t0/θn\frac{e^{-2t_0/\theta}}{n}
  3. C
    t02e−2t0/θnθ3\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^3}
  4. D
    nt02e−2t0/θθ6\frac{n t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{\theta^6}
  5. E
    t02e−2t0/θθ2\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{\theta^2}

Cevap

Doğru yanıt t02e−2t0/θnθ2\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2} ifadesidir.
Cramer-Rao alt sınırı formülü [g′(θ)]2In(θ)\frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} şeklindedir. Dağılım için bir gözlemin Fisher bilgisi 1/θ21/\theta^2 olup, nn gözlem için n/θ2n/\theta^2 olur. g(θ)=e−t0/θg(\theta) = e^{-t_0/\theta} fonksiyonunun türevi ise g′(θ)=t0θ2e−t0/θg'(\theta) = \frac{t_0}{\theta^2} e^{-t_0/\theta} olarak bulunur. Türevin karesini alıp Fisher bilgi miktarına böldüğümüzde t02e−2t0/θnθ2\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunu ve türevlerini bulun.
ln⁡f(x;θ)=−ln⁡θ−xθ\ln f(x; \theta) = -\ln \theta - \frac{x}{\theta}
∂ln⁡f∂θ=−1θ+xθ2\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}
∂2ln⁡f∂θ2=1θ2−2xθ3\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2x}{\theta^3}
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için ikinci mertebeden türevin beklenen değerine ihtiyaç vardır.
2
n çaplı örneklem için Fisher Bilgi Miktarını (In(θ)I_n(\theta)) hesaplayın.
E[X]=θE[X] = \theta olduğundan,
I(θ)=−E[1θ2−2Xθ3]=−(1θ2−2θθ3)=1θ2I(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{2X}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{1}{\theta^2} - \frac{2\theta}{\theta^3}\right) = \frac{1}{\theta^2}
Örneklem için: In(θ)=nθ2I_n(\theta) = \frac{n}{\theta^2}
Cramer-Rao alt sınırının paydası, n çaplı örneklemin toplam bilgi miktarından oluşur.
3
İlgilenilen parametre fonksiyonunun (g(θ)=e−t0/θg(\theta) = e^{-t_0/\theta}) türevini alın.
Zincir kuralı uygulanarak:
g′(θ)=e−t0/θ⋅∂∂θ(−t0θ)=e−t0/θ⋅(t0θ2)g'(\theta) = e^{-t_0/\theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta}\left(-\frac{t_0}{\theta}\right) = e^{-t_0/\theta} \cdot \left(\frac{t_0}{\theta^2}\right)
Alt sınırın pay kısmında, ilgilenilen fonksiyonun parametreye göre türevinin karesi yer alır.
4
Cramer-Rao formülünü uygulayın.
CRLB=[g′(θ)]2In(θ)=(e−t0/θ⋅t0θ2)2n/θ2=e−2t0/θ⋅t02θ4n/θ2=t02e−2t0/θnθ2\text{CRLB} = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{\left( e^{-t_0/\theta} \cdot \frac{t_0}{\theta^2} \right)^2}{n / \theta^2} = \frac{e^{-2t_0/\theta} \cdot \frac{t_0^2}{\theta^4}}{n / \theta^2} = \frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}
Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansı için teorik minimum değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru