Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir tarım araştırmacısı, belirli bir bölgedeki mısır tarlalarında metrekare başına düşen zararlı böcek sayısını modellemektedir. Zararlı böcek sayısının λ>0\lambda > 0 parametreli Poisson dağılımına uyduğu varsayılmaktadır.

Araştırmacı, nn hacimli rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alarak τ(λ)=λ2\tau(\lambda) = \lambda^2 fonksiyonunun yansız bir tahmin edicisinin varyansının alt sınırını belirlemek istemektedir.

Buna göre, τ(λ)=λ2\tau(\lambda) = \lambda^2 için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 4λ3n\frac{4\lambda^3}{n}Cevap
  2. B
    2λ2n\frac{2\lambda^2}{n}
  3. C
    4λn\frac{4\lambda}{n}
  4. D
    λn\frac{\lambda}{n}
  5. E
    4λ34\lambda^3

Cevap

İlgili parametre fonksiyonu için alt sınır 4λ3n\frac{4\lambda^3}{n} değerine eşittir.
Poisson dağılımı için tek bir gözlemin Fisher bilgi miktarı I(λ)=1λI(\lambda) = \frac{1}{\lambda}'dır. Tahmin edilmek istenen fonksiyon τ(λ)=λ2\tau(\lambda) = \lambda^2 olduğundan, türevi τ′(λ)=2λ\tau'(\lambda) = 2\lambda olur. Cramer-Rao alt sınırı formülü olan [τ′(λ)]2n⋅I(λ)\frac{[\tau'(\lambda)]^2}{n \cdot I(\lambda)} kullanıldığında, (2λ)2n(1/λ)=4λ3n\frac{(2\lambda)^2}{n(1/\lambda)} = \frac{4\lambda^3}{n} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunun bulunması.
ln⁡f(x;λ)=−λ+xln⁡λ−ln⁡(x!)\ln f(x;\lambda) = -\lambda + x \ln \lambda - \ln(x!)
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için olasılık yoğunluk/kütle fonksiyonunun logaritmasına ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun λ\lambda'ya göre birinci ve ikinci türevlerinin alınması.
∂∂λln⁡f(x;λ)=−1+xλ\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln f(x;\lambda) = -1 + \frac{x}{\lambda} ve ∂2∂λ2ln⁡f(x;λ)=−xλ2\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} \ln f(x;\lambda) = -\frac{x}{\lambda^2}
Fisher bilgi miktarı, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifine eşittir.
3
Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarının (I(λ)I(\lambda)) hesaplanması.
I(λ)=−E[−Xλ2]=E[X]λ2=λλ2=1λI(\lambda) = -E\left[-\frac{X}{\lambda^2}\right] = \frac{E[X]}{\lambda^2} = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}
Alt sınır formülünün paydasında yer alan bilgi miktarını bulmak için gereklidir.
4
Dönüşüm fonksiyonunun türevinin alınması ve Cramer-Rao alt sınırının hesaplanması.
τ′(λ)=2λ  ⟹  CRLB=[τ′(λ)]2n⋅I(λ)=(2λ)2n(1/λ)=4λ2n/λ=4λ3n\tau'(\lambda) = 2\lambda \implies CRLB = \frac{[\tau'(\lambda)]^2}{n \cdot I(\lambda)} = \frac{(2\lambda)^2}{n(1/\lambda)} = \frac{4\lambda^2}{n/\lambda} = \frac{4\lambda^3}{n}
Parametrenin bir fonksiyonu olan τ(λ)\tau(\lambda)'nın yansız tahmin edicisi için Cramer-Rao formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fisher Bilgi Miktarı
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru