Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir parçacık fiziği deneyinde, belirli bir gaz ortamındaki parçacıkların hızları (VV), v>0v > 0 olmak üzere Maxwell-Boltzmann dağılımına uymaktadır. Hızların olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir ölçek parametresi olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(v;θ)=2πv2θ3e−v22θ2f(v; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{v^2}{\theta^3} e^{-\frac{v^2}{2\theta^2}}

Bir araştırmacı, bu gazdaki parçacıkların kinetik enerjisi ile ilgili hesaplamalarda kullanmak üzere, τ(θ)=1θ2\tau(\theta) = \frac{1}{\theta^2} fonksiyonu için yansız bir tahmin edici önermek istemektedir.

Buna göre, gaz ortamından rastgele seçilen nn adet parçacığın hızları temel alındığında, τ(θ)\tau(\theta)'nın yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 23nθ4\frac{2}{3n\theta^4}Cevap
  2. B
    43nθ4\frac{4}{3n\theta^4}
  3. C
    16nθ4\frac{1}{6n\theta^4}
  4. D
    23n\frac{2}{3n}
  5. E
    θ26n\frac{\theta^2}{6n}

Cevap

τ(θ)\tau(\theta)'nın yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı 23nθ4\frac{2}{3n\theta^4} olarak bulunur.
Cramer-Rao alt sınırı formülü, ilgilenilen bir τ(θ)\tau(\theta) fonksiyonu için [τ′(θ)]2/In(θ)[\tau'(\theta)]^2 / I_n(\theta) şeklindedir. İlk olarak Maxwell-Boltzmann dağılımının log-olabilirlik fonksiyonunun birinci türevinden (skor fonksiyonu) hareketle E[V2]=3θ2E[V^2] = 3\theta^2 eşitliği bulunur. Bu değer, ikinci türevin beklenen değerinde yerine yazıldığında tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı I(θ)=6/θ2I(\theta) = 6/\theta^2 ve örneklem için In(θ)=6n/θ2I_n(\theta) = 6n/\theta^2 olarak hesaplanır. İstenen fonksiyon τ(θ)=θ−2\tau(\theta) = \theta^{-2} olduğundan, türevi τ′(θ)=−2θ−3\tau'(\theta) = -2\theta^{-3} olur. Karesi olan 4/θ64/\theta^6 ifadesi Fisher bilgi miktarına bölündüğünde sonuç 23nθ4\frac{2}{3n\theta^4} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Log-olabilirlik fonksiyonunun ve θ\theta'ya göre birinci ile ikinci türevlerinin bulunması.
ln⁡f(v;θ)=ln⁡(2/π)+2ln⁡(v)−3ln⁡(θ)−v22θ2\ln f(v; \theta) = \ln(\sqrt{2/\pi}) + 2\ln(v) - 3\ln(\theta) - \frac{v^2}{2\theta^2}. Türevler: ∂ln⁡f∂θ=−3θ+v2θ3\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{3}{\theta} + \frac{v^2}{\theta^3} ve ∂2ln⁡f∂θ2=3θ2−3v2θ4\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{3}{\theta^2} - \frac{3v^2}{\theta^4}
Cramer-Rao alt sınırını hesaplamak için öncelikle Fisher bilgi matrisini oluşturacak olan skor fonksiyonu ve log-olabilirlik ikinci türevine ihtiyaç vardır.
2
Skor fonksiyonunun beklenen değerinin sıfır olması özelliğini kullanarak E[V2]E[V^2] değerinin hesaplanması.
E[−3θ+V2θ3]=0  ⟹  E[V2]θ3=3θ  ⟹  E[V2]=3θ2E[-\frac{3}{\theta} + \frac{V^2}{\theta^3}] = 0 \implies \frac{E[V^2]}{\theta^3} = \frac{3}{\theta} \implies E[V^2] = 3\theta^2
İkinci türevin beklenen değerini hesaplarken (Fisher bilgi miktarı) dağılımın ikinci momentine (E[V2]E[V^2]) pratik bir yoldan ulaşılması gerekmektedir.
3
nn gözlemlik örneklem için Fisher bilgi miktarının (In(θ)I_n(\theta)) elde edilmesi.
I(θ)=−E[3θ2−3V2θ4]=−(3θ2−3(3θ2)θ4)=−(3θ2−9θ2)=6θ2I(\theta) = -E[\frac{3}{\theta^2} - \frac{3V^2}{\theta^4}] = -(\frac{3}{\theta^2} - \frac{3(3\theta^2)}{\theta^4}) = -(\frac{3}{\theta^2} - \frac{9}{\theta^2}) = \frac{6}{\theta^2}. Dolayısıyla In(θ)=6nθ2I_n(\theta) = \frac{6n}{\theta^2}
Cramer-Rao alt sınırının paydasında yer alan ve örneklemin içerdiği toplam bilgi miktarını ifade eden değere ihtiyaç vardır.
4
İlgilenilen τ(θ)=θ−2\tau(\theta) = \theta^{-2} fonksiyonunun türevinin karesinin hesaplanıp Cramer-Rao formülünün uygulanması.
τ′(θ)=−2θ−3  ⟹  [τ′(θ)]2=4θ6\tau'(\theta) = -2\theta^{-3} \implies [\tau'(\theta)]^2 = \frac{4}{\theta^6}. Alt Sınır = 4/θ66n/θ2=46nθ4=23nθ4\frac{4/\theta^6}{6n/\theta^2} = \frac{4}{6n\theta^4} = \frac{2}{3n\theta^4}
Bir parametrenin fonksiyonu için alt sınır, fonksiyonun türevinin karesinin Fisher bilgi miktarına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği ve Parametre Fonksiyonları İçin Cramer-Rao Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru