Examkin

Soru

Zorluk: ZorFark Tahminleyicisi ve Özellikleri

Orman Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen bir çalışmada, belirli bir ormanlık alandaki hektar başına ortalama ağaç sayısını (yy) tahmin etmek için, parsellerin ortalama rakım değerleri (xx) yardımcı değişken olarak kullanılacaktır. Bu amaçla yˉd=yˉ+k(Xˉ−xˉ)\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x}) formülüyle verilen fark tahminleyicisi önerilmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda değişkenlere ilişkin kitle parametreleri şu şekilde hesaplanmıştır:
- İlgilenilen değişkenin varyansı: Sy2=120S_y^2 = 120
- Yardımcı değişkenin varyansı: Sx2=80S_x^2 = 80
- İki değişken arasındaki kovaryans: Sxy=60S_{xy} = 60

Araştırmacının kullanacağı fark tahminleyicisinin, basit rastgele örnekleme ortalamasına (yˉ\bar{y}) göre daha etkin (daha küçük varyanslı) olabilmesi için kk sabitinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0<k<1,50 < k < 1,5Cevap
  2. B
    0<k<0,750 < k < 0,75
  3. C
    0<k<1,00 < k < 1,0
  4. D
    k>0,75k > 0,75
  5. E
    k>1,5k > 1,5

Cevap

Fark tahminleyicisinin daha etkin olması için gereken aralık 0<k<1,50 < k < 1,5'tir.
Fark tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin olabilmesi için V(yˉd)<V(yˉ)V(\bar{y}_d) < V(\bar{y}) şartı sağlanmalıdır. Formülleri yerine yazdığımızda Sy2+k2Sx2−2kSxy<Sy2S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy} < S_y^2 elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında k(kSx2−2Sxy)<0k(k S_x^2 - 2S_{xy}) < 0 eşitsizliği ortaya çıkar. Verilen değerler (Sx2=80S_x^2 = 80, Sxy=60S_{xy} = 60) yerine konulduğunda k(80k−120)<0k(80k - 120) < 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri 00 ve 1,51,5'tir ve parabol kolları yukarı doğru olduğu için çözüm aralığı 0<k<1,50 < k < 1,5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fark tahminleyicisi ile basit rastgele örnekleme ortalamasının varyanslarını karşılaştırmak için etkinlik koşulunu yazın.
V(yˉd)<V(yˉ)V(\bar{y}_d) < V(\bar{y}) olmalıdır.
Bir tahminleyicinin diğerinden daha etkin olması, varyansının daha küçük olması anlamına gelir.
2
Varyans formüllerini eşitsizlikte yerine koyun.
1−fn(Sy2+k2Sx2−2kSxy)<1−fnSy2\frac{1-f}{n}(S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy}) < \frac{1-f}{n} S_y^2
Varyans ifadelerinin açık hallerini yazarak kk'ya bağlı terimleri yalnız bırakmak hedeflenmektedir.
3
Eşitsizliği sadeleştirin ve ortak çarpan parantezine alın.
k2Sx2−2kSxy<0  ⟹  k(kSx2−2Sxy)<0k^2 S_x^2 - 2k S_{xy} < 0 \implies k(k S_x^2 - 2S_{xy}) < 0
Her iki taraftaki 1−fnSy2\frac{1-f}{n} S_y^2 terimleri birbirini götürerek formülü basitleştirir.
4
Verilen Sx2=80S_x^2 = 80 ve Sxy=60S_{xy} = 60 değerlerini eşitsizlikte yerine koyarak çözümü bulun.
k(80k−120)<0k(80k - 120) < 0 eşitsizliğinin kökleri 00 ve 1,51,5'tir. Parabol kolları yukarı doğru olduğundan çözüm aralığı 0<k<1,50 < k < 1,5 olur.
Eşitsizliğin negatif olduğu aralık, denklemin kökleri arasındaki aralıktır.

Anahtar Kavram

Fark Tahminleyicisinin Etkinliği
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fark Tahminleyicisi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru