Fark Tahminleyicisi ve Özellikleri

Bir kamu araştırmasında, $N = 500$ birimlik bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 50$ birimlik bir örneklem seçilmiştir. İlgilenilen $y$ değişkeni ve yardımcı $x$ değişkenine ilişkin kitle değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için $k = 1$ sabit değerli fark tahminleyicisini ($\bar{y}_d = \bar{y} + \bar{X} - \bar{x}$) kullanmaya karar vermiştir. Buna göre, bu fark tahminleyicisinin varyansı kaçtır?

Bir kamu kurumu, personelin aylık ortalama eğitim harcamalarını ($\bar{Y}$) tahmin etmek amacıyla $N = 2.000$ kişilik bir kitleden $n = 200$ birimlik bir örneklemi iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçmiştir. Yardımcı değişken ($X$) olarak personelin aylık geliri kullanılmış ve kitle ortalaması $\bar{X} = 25.000$ TL olarak bilinmektedir. Yapılan analizler sonucunda örneklem ortalamaları $\bar{x} = 24.500$ TL ve $\bar{y} = 2.000$ TL; kitle varyansları ise $S_y^2 = 40.000$, $S_x^2 = 30.000$ ve kitle kovaryansı $S_{xy} = 32.000$ olarak hesaplanmıştır.

$k=1$ sabit değeri kullanılarak tanımlanan $\hat{\bar{Y}}_d = \bar{y} + (\bar{X} - \bar{x})$ fark tahminleyicisinin varyansı kaçtır?

Bir ildeki hanehalklarının aylık gıda harcamalarını ($y$) tahmin etmek amacıyla $N = 1.000$ haneden oluşan bir kitle içinden iadesiz basit rastgele örnekleme ile $n = 50$ hane seçilmiştir. Yardımcı değişken olarak hanelerin toplam aylık geliri ($x$) kullanılmıştır. Kitleye ait bazı karakteristikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, $k = 1$ katsayısı ile tanımlanan fark tahminleyicisinin ($\bar{y}_d = \bar{y} + k(\mu_x - \bar{x})$) varyansında, kitle ortalamasının yansız bir tahminleyicisi olan basit aritmetik ortalamanın ($\bar{y}$) varyansına göre gerçekleşen azalma miktarı kaçtır?

Bir tarımsal araştırmada, bir bölgedeki $N = 600$ çiftçinin buğday verimi ($y$) ile ektikleri alanın büyüklüğü ($x$) arasındaki ilişki incelenmektedir. Kitledeki alan büyüklüğünün ortalaması ($\bar{X}$) bilinmektedir. İadesiz basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 60$ çiftçiden elde edilen verilerle şu istatistikler hesaplanmıştır:

$S_y^2 = 400$, $S_x^2 = 100$ ve $S_{xy} = 150$

Kitle ortalamasını tahmin etmek için $k = 1$ sabit değerli fark tahminleyicisi ($\bar{y}_D = \bar{y} + (\bar{X} - \bar{x})$) kullanıldığına göre, bu tahminleyicinin varyansı ($V(\bar{y}_D)$) kaçtır?

Bir kamu kurumunda çalışan personelin aylık ulaşım giderlerini ($y$) tahmin etmek amacıyla, personelin geçen yılki ulaşım giderleri ($x$) yardımcı değişken olarak kullanılmaktadır. $N = 800$ personelden oluşan bir kitle içinden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 80$ kişilik bir örneklem seçilmiştir. Örneklem verilerinden hesaplanan varyans ve kovaryans değerleri şöyledir:

- $S_y^2 = 120$
- $S_x^2 = 100$
- $S_{xy} = 90$

Sabit katsayının $k = 1$ olarak belirlendiği fark tahminleyicisi ($\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$) kullanıldığına göre, bu tahminleyicinin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu araştırmasında, $N = 1.000$ birimlik bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme ile $n = 100$ birimlik bir örneklem seçilmiştir. İlgilenilen $y$ değişkeni için kitle ortalaması tahmininde, yardımcı $x$ değişkeninden yararlanılarak $k = 1$ sabitli fark tahminleyicisi ($\bar{y}_d = \bar{y} + \bar{X} - \bar{x}$) kullanılmıştır.

Araştırma sonucunda elde edilen kitle değerleri aşağıdadır:

Buna göre, bu fark tahminleyicisinin varyansı ($V(\bar{y}_d)$) kaçtır?

Örnekleme teorisinde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla kullanılan fark tahminleyicisi $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ şeklinde tanımlanmaktadır. Burada $\bar{y}$ ve $\bar{x}$ örneklem ortalamalarını, $\bar{X}$ ise yardımcı değişkenin bilinen kitle ortalamasını ifade etmektedir.

$k$ değerinin önceden belirlenmiş sabit bir katsayı olduğu varsayıldığında, bu tahminleyicinin yansızlık (unbiasedness) özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Örnekleme teorisinde, yardımcı değişken ($x$) bilgisinden yararlanılarak kitle ortalamasını ($\bar{Y}$) tahmin etmek amacıyla kullanılan $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ fark tahminleyicisi ile ilgili olarak; $k$ katsayısının örneklem seçilmeden önce belirlenmiş sabit bir sayı olması durumunda aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, il genelindeki $N = 500$ aile hekimliği biriminin bu yılki günlük ortalama muayene sayısını ($\bar{Y}$) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 50$ birimlik bir örneklem seçilmiştir.

Araştırmada ilgilenilen değişken ($y$) bu yılki günlük ortalama muayene sayısı, yardımcı değişken ($x$) ise bir önceki yılın resmi kayıtlı günlük ortalama muayene sayısıdır. Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki gibidir:

$s_y^2 = 150$
$s_x^2 = 120$
$s_{xy} = 85$

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için $k = 1$ sabiti ile tanımlanan $\bar{y}_d = \bar{y} + 1 \cdot (\bar{X} - \bar{x})$ fark tahminleyicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, bu fark tahminleyicisinin varyans tahmini, $v(\bar{y}_d)$, kaçtır?

Orman Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen bir çalışmada, belirli bir ormanlık alandaki hektar başına ortalama ağaç sayısını ($y$) tahmin etmek için, parsellerin ortalama rakım değerleri ($x$) yardımcı değişken olarak kullanılacaktır. Bu amaçla $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ formülüyle verilen fark tahminleyicisi önerilmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda değişkenlere ilişkin kitle parametreleri şu şekilde hesaplanmıştır:
- İlgilenilen değişkenin varyansı: $S_y^2 = 120$
- Yardımcı değişkenin varyansı: $S_x^2 = 80$
- İki değişken arasındaki kovaryans: $S_{xy} = 60$

Araştırmacının kullanacağı fark tahminleyicisinin, basit rastgele örnekleme ortalamasına ($\bar{y}$) göre daha etkin (daha küçük varyanslı) olabilmesi için $k$ sabitinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir büyükşehir belediyesi, bölgesindeki $N = 1000$ ticari işletmenin ortalama günlük su tüketimini ($\bar{Y}$) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 200$ işletmelik bir örneklem seçilmiştir.

Araştırmacılar, tahminin duyarlılığını artırmak için işletmelerin bir önceki yıla ait günlük ortalama su tüketim değerlerini yardımcı değişken ($X$) olarak kullanmaya karar vermiş ve örneklemden elde edilen verilerle aşağıdaki istatistikleri hesaplamıştır:

* İlgilenilen değişkenin varyansı: $s_y^2 = 300$
* Yardımcı değişkenin varyansı: $s_x^2 = 400$
* İki değişken arasındaki kovaryans: $s_{xy} = 250$

Araştırmacılar, kitle ortalamasını tahmin etmek için, $k$ sabitinin örneklem seçiminden tamamen bağımsız (a priori) olarak $k = 0,5$ şeklinde belirlendiği fark tahminleyicisini ($\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$) kullanmıştır.

Buna göre, bu fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ($\hat{V}(\bar{y}_d)$) kaçtır ve bu tahminleyicinin kitle ortalaması için yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Bir enerji dağıtım şirketi, hizmet bölgesindeki $N = 2500$ üretim tesisinin cari yıl günlük ortalama elektrik tüketimini ($\bar{Y}$) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ hacimli bir örneklem seçmiştir. Tesislerin bir önceki yıla ait günlük ortalama tüketim değerleri ($x$) yardımcı değişken olarak alınmış olup, bu değişkene ait kitle ortalaması ($\bar{X}$) bilinmektedir.

Örneklemden elde edilen istatistikler şöyledir:
- İlgilenilen değişkenin varyansı: $s_y^2 = 500$
- Yardımcı değişkenin varyansı: $s_x^2 = 400$
- İlgilenilen ve yardımcı değişken arasındaki kovaryans: $s_{xy} = 350$

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için önceden belirlenmiş sabit bir $k = 1$ katsayısı kullanarak fark tahminleyicisi ($\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$) oluşturmuştur.

Buna göre, oluşturulan bu fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ($\hat{V}(\bar{y}_d)$) kaçtır ve tahminleyicinin yansızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir tarım kooperatifi, bünyesinde bulunan $N = 1000$ üreticinin bu yılki ortalama ayçiçeği rekoltesini ($\bar{Y}$) tahmin etmek amacıyla basit rastgele iadesiz örnekleme yöntemiyle $n = 100$ üretici seçmiştir. Üreticilerin bir önceki yıla ait rekolte değerleri ($x$) tam olarak bilinmektedir ve yardımcı değişken olarak kullanılacaktır.

Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki gibidir:
- $s_y^2 = 250$ (Bu yılki rekoltenin örneklem varyansı)
- $s_x^2 = 200$ (Geçen yılki rekoltenin örneklem varyansı)
- $s_{xy} = 175$ (İki yılın rekoltesi arasındaki örneklem kovaryansı)

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için sabit bir $c=1$ katsayısı alınarak oluşturulan $\bar{y}_d = \bar{y} + c(\bar{X} - \bar{x})$ formülüne sahip fark tahminleyicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ($\hat{V}(\bar{y}_d)$) kaçtır ve bu tahminleyicinin yansızlık özelliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?