Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir üretim sürecinde üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı pp'dir. Bu süreçten birbirinden bağımsız olarak rastgele seçilen nn (n≥2n \geq 2) adet parça için, ii. parçanın kusurlu olması durumunda Xi=1X_i = 1, aksi halde Xi=0X_i = 0 değerini alan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri tanımlanmıştır.

Rastgele seçilen herhangi iki parçanın her ikisinin de kusurlu olma olasılığı olan θ=p2\theta = p^2 parametresi tahmin edilmek istenmektedir.

T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin pp için tam ve yeterli (complete and sufficient) bir istatistik olduğu bilindiğine göre, θ=p2\theta = p^2 parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)}Cevap
  2. B
    T2n2\frac{T^2}{n^2}
  3. C
    T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)}
  4. D
    Tn\frac{T}{n}
  5. E
    T2−Tn2\frac{T^2 - T}{n^2}

Cevap

İstenen parametrenin UMVUE'si T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)} ifadesidir.
Verilen soruda T∼Binomial(n,p)T \sim Binomial(n, p) dağılımına sahiptir. Bizden θ=p2\theta = p^2 parametresinin UMVUE'si istenmektedir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistik olan TT'nin, beklenen değeri p2p^2'yi veren yansız bir fonksiyonunu bulmalıyız. Varyans tanımından yola çıkarak E[T2]=Var(T)+(E[T])2=np(1−p)+n2p2=np−np2+n2p2=np+p2n(n−1)E[T^2] = Var(T) + (E[T])^2 = np(1-p) + n^2p^2 = np - np^2 + n^2p^2 = np + p^2n(n-1) eşitliği yazılır. Bu eşitlikte npnp terimi E[T]E[T]'ye eşittir. Dolayısıyla E[T2−T]=p2n(n−1)E[T^2 - T] = p^2n(n-1) sonucuna ulaşılır. Her iki taraf n(n−1)n(n-1)'e bölündüğünde, E[T(T−1)n(n−1)]=p2E\left[\frac{T(T-1)}{n(n-1)}\right] = p^2 elde edilir. Bu ifade yansızdır ve tam-yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olduğu için UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
TT'nin dağılımını ve temel momentlerini belirlemek
T=∑Xi∼Binomial(n,p)T = \sum X_i \sim Binomial(n, p) olduğundan, E[T]=npE[T] = np ve Var(T)=np(1−p)Var(T) = np(1-p)'dir.
Lehmann-Scheffe teoremini kullanabilmek için TT'ye bağlı yansız bir tahmin edici bulmamız gerekir.
2
E[T2]E[T^2] beklenen değerini varyans formülünden yola çıkarak hesaplamak
Var(T)=E[T2]−(E[T])2Var(T) = E[T^2] - (E[T])^2 formülünden E[T2]=np(1−p)+(np)2=np−np2+n2p2E[T^2] = np(1-p) + (np)^2 = np - np^2 + n^2p^2 elde edilir.
p2p^2 terimini elde etmek için T2T^2'nin beklenen değerine ihtiyaç vardır.
3
İfadeyi p2p^2 parametresini verecek şekilde düzenlemek ve yansızlaştırmak
E[T2]=np+p2n(n−1)E[T^2] = np + p^2n(n-1) denkleminde her iki taraftan E[T]=npE[T] = np çıkarılırsa E[T2−T]=p2n(n−1)E[T^2 - T] = p^2n(n-1) bulunur. Her iki taraf n(n−1)n(n-1)'e bölündüğünde E[T2−Tn(n−1)]=p2E\left[\frac{T^2 - T}{n(n-1)}\right] = p^2 elde edilir.
Amacımız beklenen değeri tam olarak p2p^2'ye eşit olan, yani yansız olan bir fonksiyon oluşturmaktır.
4
Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak
TT istatistiği tam ve yeterli (complete and sufficient) olduğundan, yansız olan T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)} tahmin edicisi p2p^2 için UMVUE'dir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman tek ve en iyi yansız tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi, Tam ve Yeterli İstatistikler (Sufficient and Complete Statistics)
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru