Bir araştırmacı, Y bağımlı ve X bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi incelerken, teorik … — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $Y$ bağımlı ve $X$ bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi incelerken, teorik altyapı gereği $X=0$ iken $Y$ 'nin de $0$ olması gerektiği varsayımından yola çıkarak sabit terim içermeyen $Y_i = \beta X_i + u_i$ şeklinde orijinden geçen bir basit doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesi sonucunda elde edilen istatistiksel özellikler değerlendirildiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

Modelin hata varyansının sapmasız tahmini için kalıntı kareler toplamı $n-1$ serbestlik derecesine bölünür ve elde edilen tahmin modeline ait kalıntıların toplamı ( $\sum e_i$ ) her zaman sıfıra eşit olmak zorunda değildir.Cevap
B
Modelin veriye uyum iyiliğini ölçen belirtme katsayısı ( $R^2$ ), bağımlı değişkenin ortalamadan sapmaları temel alınarak standart formülle hesaplandığında her zaman $0$ ile $1$ arasında anlamlı bir değer üretir.
C
Eğim katsayısına ait standart hata hesaplanırken, paydada bağımsız değişkenin ham değerlerinin kareleri toplamı ( $\sum X_i^2$ ) yerine ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı ( $\sum(X_i - \bar{X})^2$ ) kullanılır ve varyans $n-2$ ile düzeltilir.
D
EKK tahmincisinin Gauss-Markov teoremine göre en küçük varyanslı (etkin) tahmin edici olabilmesi için, veri setinden elde edilen kalıntıların aritmetik ortalamasının kesinlikle sıfıra eşit olması şarttır.
E
Sabit terim içermeyen bu spesifik model yapısında, bağımsız değişkenin bireysel anlamlılığını sınayan $t$ test istatistiğinin karesi, modelin genel anlamlılığını sınayan $F$ test istatistiğine matematiksel olarak eşit olma özelliğini yitirir.

Cevap

Doğru ifade, hata varyansı hesaplanırken kalıntı kareler toplamının

n-1

serbestlik derecesine bölünmesi gerektiğini ve kalıntıların toplamının sıfıra eşit olma zorunluluğunun bulunmadığını belirten seçenektir.

Orijinden geçen regresyon modellerinde (sabit terim olmadığı için) EKK minimizasyon sürecinde sadece

\beta

'ya göre türev alınır. Bu durum, standart modelin normal denklemlerinden biri olan

\sum e_i = 0

eşitliğinin ortadan kalkmasına neden olur; dolayısıyla kalıntıların toplamı genellikle sıfıra eşit değildir. Aynı zamanda, modelde sadece bir katsayı tahmin edildiği için harcanan serbestlik derecesi 1'dir. Bu sebeple hata varyansının sapmasız tahmini hesaplanırken Kalıntı Kareler Toplamı (HKT),

n-2

yerine

n-1

değerine bölünür.

Adım Adım Çözüm

Sabit terimsiz modelin En Küçük Kareler (EKK) optimizasyon koşullarını incelemek.

Orijinden geçen modelde (

Y_i = \beta X_i + u_i

) minimize edilen hata fonksiyonunun sadece

\beta

'ya göre türevi alınır ve

\sum X_i e_i = 0

normal denklemi elde edilir.

Kalıntıların özelliklerini matematiksel olarak türetmek.

Kalıntı toplamlarının (

\sum e_i

) durumunu değerlendirmek.

Standart modellerdeki sabit terimin (

\beta_0

) türevinden gelen

\sum e_i = 0

koşulu bu modelde yoktur. Bu nedenle kalıntıların toplamı genellikle sıfırdan farklıdır.

Orijinden geçen modelin en belirgin cebirsel farkını ortaya koymak.

Hata varyansı (

\sigma^2

) tahmini için serbestlik derecesini (SD) hesaplamak.

Örneklem çapı

n

olan veride, yalnızca bir adet parametre (

\beta

) tahmin edildiği için serbestlik derecesi

n-1

olur. Dolayısıyla sapmasız varyans tahmini

s^2 = \frac{\sum e_i^2}{n-1}

formülüyle bulunur.

Tahmin edici özelliklerini standart modelle karşılaştırmak.

Anahtar Kavram

Orijinden Geçen Regresyon Modelinin EKK Varsayımları ve Tahmin Edici Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru