Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir araştırmacı, X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinden oluşan bir örneklem ile çalışmaktadır. Bu değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)=xθ2e−x/θ,x>0,θ>0f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \theta > 0

Buna göre, θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. θ22n\frac{\theta^2}{2n}Cevap
  2. B
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  3. C
    2nθ2\frac{2n}{\theta^2}
  4. D
    2θ2n\frac{2\theta^2}{n}
  5. E
    θ22\frac{\theta^2}{2}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı θ22n\frac{\theta^2}{2n}'dir.
Verilen dağılım için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin negatifinin beklenen değeri I(θ)=2θ2I(\theta) = \frac{2}{\theta^2} olarak bulunur. Bağımsız nn hacimli örneklem için bu değer nn ile çarpılır (In(θ)=2nθ2I_n(\theta) = \frac{2n}{\theta^2}). Cramer-Rao eşitsizliğine göre, parametrenin yansız bir tahmin edicisi için varyansın alt sınırı bu toplam Fisher bilgisinin tersidir ve θ22n\frac{\theta^2}{2n} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını alma.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡x−2ln⁡θ−xθ\ln f(x; \theta) = \ln x - 2\ln\theta - \frac{x}{\theta}
Fisher bilgi miktarını (Information) hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonuna geçilmesi gerekir.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevlerini alma.
Birinci türev: −2θ+xθ2-\frac{2}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}. İkinci türev: 2θ2−2xθ3\frac{2}{\theta^2} - \frac{2x}{\theta^3}.
İkinci türevin beklenen değerinin negatifi, Fisher bilgi miktarını verir.
3
Verilen dağılım üzerinden XX'in beklenen değerini (E[X]E[X]) bulma.
E[X]=αβ=2θE[X] = \alpha\beta = 2\theta (Dağılım Gamma(2, θ\theta) yapısındadır).
İkinci türevin formülündeki XX değişkeninin beklenen değerini yerine yazmak için gereklidir.
4
Tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarını (I(θ)I(\theta)) hesaplama.
I(θ)=−E[2θ2−2Xθ3]=−(2θ2−4θθ3)=2θ2I(\theta) = -E\left[\frac{2}{\theta^2} - \frac{2X}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{2}{\theta^2} - \frac{4\theta}{\theta^3}\right) = \frac{2}{\theta^2}
Örneklem bilgisini bulmadan önceki temel adımdır.
5
nn çaplı örneklem için toplam Fisher Bilgisini bulup Cramer-Rao alt sınırını hesaplama.
In(θ)=n⋅I(θ)=2nθ2  ⟹  CRLB=1In(θ)=θ22nI_n(\theta) = n \cdot I(\theta) = \frac{2n}{\theta^2} \implies \text{CRLB} = \frac{1}{I_n(\theta)} = \frac{\theta^2}{2n}
Yansız bir tahmin edici için varyansın alt sınırı, toplam Fisher bilgi miktarının çarpmaya göre tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) Hesaplaması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru