Bir finansal risk analizi modelinde, iki farklı yatırım aracının getiri oranlarını temsil … — KPSS İstatistik

Bir finansal risk analizi modelinde, iki farklı yatırım aracının getiri oranlarını temsil eden $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin karesel beklenen değerleri sırasıyla $E(X^2) = 16$ ve $E(Y^2) = 25$ olarak belirlenmiştir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, $E(XY)$ 'nin alabileceği maksimum değer kaçtır ve bu maksimum değere ulaşıldığında $Y$ ile $X$ arasındaki doğrusal ilişki ( $P(Y = cX) = 1$ varsayımıyla) aşağıdakilerden hangisidir?

Maksimum değer 20 ; $Y = \frac{5}{4}X$ Cevap
B
Maksimum değer 20 ; $Y = \frac{4}{5}X$
C
Maksimum değer 20 ; $Y = -\frac{5}{4}X$
D
Maksimum değer 400 ; $Y = \frac{25}{16}X$
E
Maksimum değer 400 ; $Y = \frac{5}{4}X$

Cevap

Maksimum değer 20 ve değişkenler arasındaki ilişki Y = (5/4)X şeklindedir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre,

[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

olmalıdır. Verilen

E(X^2)=16

E(Y^2)=25

değerleri yerine konulduğunda

[E(XY)]^2 \leq 400

elde edilir. Her iki tarafın karekökü alındığında

E(XY)

'nin değer aralığı

[-20, 20]

olarak bulunur, bu nedenle maksimum değer 20'dir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde sınır değerlere (maksimum veya minimum) ulaşılması, rastgele değişkenler arasında 1 olasılıkla

Y = cX

şeklinde doğrusal bir ilişki olduğu anlamına gelir. Buradan

E(Y^2) = c^2 E(X^2)

eşitliği kurularak

25 = 16c^2

denklemi çözülür ve

c^2 = \frac{25}{16}

bulunur. Maksimum değer olan +20'ye ulaşabilmesi için iki değişkenin aynı yönde birlikte değişmesi, dolayısıyla katsayının pozitif olması gerekir. Bu durumda

c = \frac{5}{4}

alınarak

Y = \frac{5}{4}X

bağıntısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin genel formülünü uygulamak.

[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

kuralına göre

[E(XY)]^2 \leq 16 \times 25 = 400

elde edilir.

İki rastgele değişkenin çarpımının beklenen değerinin sınırlarını belirlemek için temel eşitsizliktir.

Elde edilen eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü alarak maksimum değeri bulmak.

-20 \leq E(XY) \leq 20

aralığı bulunur, dolayısıyla

E(XY)

'nin alabileceği maksimum değer 20'dir.

Soru bizden alabileceği maksimum değeri (üst sınırı) istemektedir.

Maksimum sınıra ulaşıldığında geçerli olan doğrusal ilişki katsayısını (

c

) hesaplamak.

Eşitlik durumunda

P(Y = cX) = 1

olmalıdır.

E(Y^2) = E((cX)^2) = c^2 E(X^2)

eşitliğinde değerler yerine konursa

25 = 16c^2 \implies c^2 = \frac{25}{16} \implies c = \pm\frac{5}{4}

bulunur.

Sınır değerlere ulaşıldığında değişkenler arasında kesin bir doğrusal ilişki bulunması zorunludur.

Doğru

c

katsayısının işaretini belirlemek.

E(XY) = 20

(maksimum pozitif değer) olduğu için

X

Y

aynı yönde hareket etmelidir, bu nedenle pozitif olan

c = \frac{5}{4}

seçilir ve

Y = \frac{5}{4}X

elde edilir.

Negatif sınır (-20) sorulsaydı

c

katsayısı negatif (-5/4) seçilirdi; pozitif değer aynı işaretli doğrusal ilişki gerektirir.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ve Sınır Durumunda Doğrusal İlişki

Alternatif Yöntem

Eğer X ve Y değişkenlerinin beklenen değerleri sıfır (E(X)=0, E(Y)=0) olsaydı; verilen değerler doğrudan varyanslara eşit olurdu. Bu senaryoda korelasyon katsayısının (-1 ile 1 arasında olma) özelliğinden yola çıkılabilir. Korelasyon katsayısının +1 olması (maksimum Cov(X,Y)) değişkenler arasında pozitif tam doğrusal ilişki (Y = cX) yaratır ve bu durumda eğim, standart sapmaların oranına (5/4) eşit olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru