Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCauchy-Schwarz Eşitsizliği

Bir kamu kurumunun personel planlama daire başkanlığında yürütülen bir performans analizinde, çalışanların haftalık projelere ayırdığı mesai saatleri XX ile haftalık bitirdikleri iş paketleri sayısı YY rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin varyansları sırasıyla Var(X)=25Var(X) = 25 ve Var(Y)=144Var(Y) = 144 olarak tespit edilmiştir.

İstatistiksel modellemede kullanılan Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kovaryans formuna göre, XX ve YY arasındaki kovaryansın (Cov(X,Y)Cov(X,Y)) alabileceği en büyük değer ile bu eşitsizliğin eşitlik haline gelmesi için XX ve YY arasında sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. 6060 ; XX ve YY arasında kesin bir doğrusal ilişki (Y=aX+bY = aX + b) bulunmasıCevap
  2. B
    36003600 ; XX ve YY arasında kesin bir doğrusal ilişki (Y=aX+bY = aX + b) bulunması
  3. C
    6060 ; XX ve YY değişkenlerinin birbirinden istatistiksel olarak tamamen bağımsız olması
  4. D
    36003600 ; XX ve YY değişkenleri için E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y) eşitliğinin sağlanması
  5. E
    00 ; XX ve YY değişkenlerinin birbirinden istatistiksel olarak tamamen bağımsız olması

Cevap

En büyük değer 6060'tır ve koşul olarak XX ve YY arasında kesin bir doğrusal ilişki (Y=aX+bY = aX + b) bulunması gerekir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği kovaryans formunda ifade edildiğinde ∣Cov(X,Y)∣≤Var(X)Var(Y)|Cov(X,Y)| \leq \sqrt{Var(X)Var(Y)} kuralı geçerlidir. Varyans değerleri 2525 ve 144144 yerine konulduğunda, kovaryansın alabileceği maksimum mutlak değer 3600=60\sqrt{3600} = 60 olarak hesaplanır. Bu eşitsizlikteki eşitlik durumu (üst sınıra tam olarak ulaşılması) teorik düzeyde sadece iki değişken arasında kesin bir doğrusal ilişki (örneğin Y=aX+bY = aX + b) bulunduğu koşulda gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kovaryans formülünü kullanmak.
[Cov(X,Y)]2≤Var(X)Var(Y)[Cov(X,Y)]^2 \leq Var(X)Var(Y) bağıntısı tanımlanır.
İki rastgele değişkenin kovaryansının üst sınırını belirlemek için geçerli olan temel eşitsizliktir.
2
Verilen varyans değerlerini (2525 ve 144144) formülde yerine koyarak maksimum kovaryansı hesaplamak.
[Cov(X,Y)]2≤25×144=3600[Cov(X,Y)]^2 \leq 25 \times 144 = 3600, buradan karekök alınarak ∣Cov(X,Y)∣≤60|Cov(X,Y)| \leq 60 elde edilir.
Kovaryansın alabileceği en büyük değeri (üst sınırı) matematiksel olarak bulmak içindir.
3
Eşitsizlikte eşitliğin (maksimum değere ulaşılmasının) sağlanması için gereken teorik koşulu tespit etmek.
Maksimum kovaryansa ulaşma koşulu, değişkenler arasında Y=aX+bY = aX + b formunda kesin bir doğrusal ilişki olmasıdır.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kuralına göre, eşitlik ancak bileşenlerin (rastgele değişkenlerin) doğrusal bağımlı olduğu tam uyum durumunda geçerlidir.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ve Kovaryans Sınırları
Bu soruyu puanla

Konular

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru