Bir tarımsal araştırma merkezinde, belirli bir tarım arazisindeki toprağın nem oranı (X) i… — KPSS İstatistik

Bir tarımsal araştırma merkezinde, belirli bir tarım arazisindeki toprağın nem oranı ( $X$ ) ile o toprağa ekilen özel bir bitkinin günlük büyüme miktarı ( $Y$ ) rastgele değişkenleri analiz edilmektedir. Araştırma sonucunda bu değişkenlere ait varyanslar $Var(X) = 9$ ve $Var(Y) = 16$ ; beklenen değerler ise $E(X) = 5$ ve $E(Y) = 10$ olarak belirlenmiştir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği dikkate alındığında, $X$ ile $Y$ değişkenleri arasında tam (mükemmel) bir doğrusal ilişki ( $Y = aX + b$ , $a \neq 0$ ) bulunduğu varsayıldığında, $X$ ile $Y$ 'nin çarpımının beklenen değeri olan $E(XY)$ 'nin alabileceği en büyük ve en küçük değerler sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$62$ ve $38$ Cevap
B
$194$ ve $-94$
C
$12$ ve $-12$
D
$75$ ve $25$
E
$50$ ve $0$

Cevap

En büyük değer 62, en küçük değer 38'dir.

Doğru cevap, Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin rastgele değişkenlere uyarlanmış hali olan

|Cov(X,Y)| \leq \sqrt{Var(X)Var(Y)}

kuralını uygulayarak bulunur. Değişkenler arasında mükemmel bir doğrusal ilişki olduğunda bu eşitsizlik eşitliğe dönüşür.

Var(X)=9

Var(Y)=16

olduğundan kovaryans

\pm 12

değerlerini alır.

E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y)

genel formülüne

E(X)=5

E(Y)=10

değerleri yerleştirildiğinde,

E(XY) = \pm 12 + 50

elde edilir. Bu işlem sonucunda alabileceği maksimum değer 62, minimum değer ise 38 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kovaryans formunu yazmak

[Cov(X,Y)]^2 \leq Var(X)Var(Y)

Rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü belirleyen temel sınırı oluşturmak.

Verilen varyans değerlerini eşitsizlikte yerine koymak

[Cov(X,Y)]^2 \leq 9 \times 16 = 144

Kovaryansın alabileceği maksimum ve minimum sayısal limitleri hesaplamak.

Kovaryans sınırlarını karekök alarak belirlemek

-12 \leq Cov(X,Y) \leq 12

Mükemmel doğrusal ilişki durumunda eşitsizliğin eşitlik (uç noktalar) halini alacağını göstermek.

E(XY)

için temel kovaryans formülünü kullanmak

Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \Rightarrow E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y)

Kovaryans sınırlarını

E(XY)

sınırlarına dönüştürmek.

Değerleri formülde yerine koyarak

E(XY)

sınırlarını bulmak

E(X)E(Y) = 5 \times 10 = 50

. Buradan

E(XY) = 50 \pm 12

. En büyük:

62

, En küçük:

38

İstenen çarpımın beklenen değerinin alabileceği en uç (maksimum ve minimum) noktaları kesin olarak tespit etmek.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği (Kovaryans Sınırları)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru