Bir istatistiksel modellemede X ve Y rastgele değişkenlerinin beklenen değerleri sıfır (E(… — KPSS İstatistik

Bir istatistiksel modellemede $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin beklenen değerleri sıfır ( $E(X) = E(Y) = 0$ ) ve ikinci momentleri $E(X^2) = 9$ , $E(Y^2) = 16$ olarak bilinmektedir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, $[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)$ bağıntısı her zaman geçerlidir. Bu eşitsizlikte eşitlik durumunun sağlandığı ve $X$ ile $Y$ değişkenleri arasında $Y = cX$ ( $c < 0$ ) şeklinde tam doğrusal bir ilişki olduğu belirlenmiştir.

Buna göre, $X+Y$ toplamının varyansı ( $Var(X+Y)$ ) kaçtır?

1Cevap
B
3
C
13
D
25
E
49

Cevap

1 değerini veren seçenektir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde eşitliğin sağlanması, değişkenler arasında deterministik (korelasyonu 1 veya -1 olan) tam doğrusal bir ilişki olduğunu gösterir.

Y = cX

eşitliğinde her iki tarafın varyansı alındığında

Var(Y) = c^2 Var(X)

elde edilir. Değerler yerine konulduğunda

16 = 9c^2

ve dolayısıyla

c = \pm \frac{4}{3}

bulunur. Soruda

c < 0

olduğu özellikle belirtildiği için

c = -\frac{4}{3}

alınmalıdır. İstenen

Var(X+Y)

değeri ise,

Y

yerine

-\frac{4}{3}X

yazılarak

Var(X - \frac{4}{3}X) = Var(-\frac{1}{3}X)

formuna dönüştürülür. Varyans özelliğinden

(-\frac{1}{3})^2 \cdot Var(X) = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1

sonucuna ulaşılır. Alternatif olarak,

\rho = -1

kullanılarak

Cov(X,Y) = (-1)(3)(4) = -12

hesaplanıp,

Var(X+Y) = 9 + 16 + 2(-12) = 1

şeklinde de bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

Beklenen değerleri kullanarak değişkenlerin varyanslarını bulma

Var(X) = 9

Var(Y) = 16

E(X) = 0

olduğu için

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9 - 0 = 9

'dur. Aynı şekilde

Var(Y) = 16

'dır.

Eşitlik durumunu kullanarak ilişki katsayısını (c) hesaplama

c = -\frac{4}{3}

Cauchy-Schwarz eşitliği

Y = cX

ilişkisini gerektirir.

Var(Y) = c^2 Var(X) \implies 16 = 9c^2 \implies c = \pm \frac{4}{3}

olur. Soruda

c < 0

verildiğinden

c = -\frac{4}{3}

seçilir.

Toplamın varyansını hesaplama

Var(X+Y) = 1

Var(X+Y) = Var(X - \frac{4}{3}X) = Var(-\frac{1}{3}X)

yazılır. Varyans kuralı gereği katsayının karesi alınarak

(-\frac{1}{3})^2 Var(X) = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1

bulunur.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Eşitlik Durumu ve Doğrusal Kombinasyonların Varyansı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru