Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCauchy-Schwarz Eşitsizliği

Bir sinyal işleme uygulamasında, sisteme etki eden XX ve YY rastgele gürültü değişkenlerinin varyansları sırasıyla Var(X)=4Var(X) = 4 ve Var(Y)=25Var(Y) = 25 olarak verilmiştir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, bu iki değişken arasındaki kovaryansın (Cov(X,Y)Cov(X,Y)) alabileceği maksimum değer kaçtır ve bu üst sınıra ulaşıldığında XX ile YY arasındaki ilişkinin biçimi aşağıdakilerden hangisidir? (a>0a > 0 ve bb gerçel sabitlerdir.)

  1. 10 ; Y=aX+bY = aX + b şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardırCevap
  2. B
    100 ; Y=aX+bY = aX + b şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardır
  3. C
    0 ; XX ve YY birbirinden tamamen bağımsızdır
  4. D
    29 ; Y=aX+bY = aX + b şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardır
  5. E
    10 ; XX ve YY değişkenleri için E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y) eşitliği sağlanır

Cevap

Kovaryansın alabileceği maksimum değer 10'dur ve bu duruma Y=aX+bY = aX + b biçimindeki tam doğrusal ilişki ile ulaşılır.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği, kovaryans ve varyanslar için (Cov(X,Y))2≤Var(X)Var(Y)(Cov(X,Y))^2 \leq Var(X)Var(Y) yapısına sahiptir. Var(X)=4Var(X)=4 ve Var(Y)=25Var(Y)=25 değerleri çarpıldığında 100 bulunur. Eşitsizliğin her iki tarafının karekökü alındığında sınırın [−10,10][-10, 10] olduğu görülür ve kovaryansın maksimum değeri 10 olarak hesaplanır. Bu maksimum değere (yani korelasyon katsayısının +1+1 olduğu noktaya) değişkenler arasında pozitif eğimli kusursuz bir doğrusal ilişki (Y=aX+b,a>0Y = aX + b, a > 0) olduğunda ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kovaryans ve varyans cinsinden formülünü kurun.
(Cov(X,Y))2≤Var(X)⋅Var(Y)(Cov(X,Y))^2 \leq Var(X) \cdot Var(Y)
Rastgele değişkenler arasındaki kovaryansın sınırlarını bulabilmek için temel Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılır.
2
Verilen varyans değerlerini eşitsizlikte yerine yazarak kovaryansın aralığını hesaplayın.
(Cov(X,Y))2≤4⋅25=100  ⟹  −10≤Cov(X,Y)≤10(Cov(X,Y))^2 \leq 4 \cdot 25 = 100 \implies -10 \leq Cov(X,Y) \leq 10
Varyansların çarpımı 100'dür. Karesi 100'den küçük eşit olan bir sayının alabileceği maksimum pozitif değer 10'dur.
3
Eşitsizlikte eşitlik durumunun (üst sınırın) sağlandığı matematiksel koşulu belirleyin.
Eşitlik durumu, iki değişken arasında tam doğrusal bir ilişki olduğunda (Y=aX+bY = aX + b) sağlanır.
İki rastgele değişken arasındaki korelasyon katsayısı ρ=±1\rho = \pm 1 olduğunda kovaryans, teorik sınırlarına ulaşır. Pozitif üst sınır (+10+10) için eğimin pozitif (a>0a > 0) olduğu mükemmel doğrusal bir ilişki gereklidir.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, iki rastgele değişkenin kovaryansının karesi varyanslarının çarpımını aşamaz. Eşitlik durumuna (maksimum veya minimum sınırlara) ancak değişkenler arasında mükemmel doğrusal ilişki bulunduğunda ulaşılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru