Bir kalite kontrol sürecinde iki farklı ölçüm sonucu olan X ve Y sürekli rastgele değişken… — KPSS İstatistik

Bir kalite kontrol sürecinde iki farklı ölçüm sonucu olan $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:

f(x,y) = x + y, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

Buna göre, $X$ değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_X(x)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$x + \frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1$ Cevap
B
$y + \frac{1}{2}, \quad 0 < y < 1$
C
$2x, \quad 0 < x < 1$
D
$\frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1$
E
$x + 1, \quad 0 < x < 1$

Cevap

x + \frac{1}{2}

fonksiyonu,

0 < x < 1

aralığında

X

değişkeninin marjinal dağılımıdır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x,y) = x+y

olan bir dağılımda,

X

değişkeninin marjinalini bulmak için ifadeyi

y

değişkeninin sınırları (0'dan 1'e) üzerinden entegre ederiz. İşlem sonucunda elde edilen

x + 1/2

ifadesi,

X

değişkeninin olasılık yapısını tek başına temsil eder.

Adım Adım Çözüm

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü kur.

f_X(x) = \int_{0}^{1} (x + y) dy

X

değişkeninin marjinalini bulmak için ortak fonksiyonu

Y

değişkeninin tüm tanım aralığı üzerinden entegre etmemiz gerekir.

y

değişkenine göre integral al.

[xy + \frac{y^2}{2}]_{0}^{1}

x

terimi

y

üzerinden integral alınırken sabit bir çarpan gibi davranır.

Sınırları yerine koyarak sonucu hesapla.

(x \cdot 1 + \frac{1^2}{2}) - (x \cdot 0 + \frac{0^2}{2}) = x + \frac{1}{2}

Üst sınır (1) ve alt sınır (0) değerleri integral sonucuna uygulanarak marjinal fonksiyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Daha Fazla Pratik

Aynı ortak yoğunluk fonksiyonunu kullanarak

Y

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular