Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif Modeller (AR)

Bir makroekonomik göstergeye ait durağan zaman serisinin analizi yapılmaktadır. Yapılan incelemeler sonucunda serinin örneklem otokorelasyon fonksiyonu (ACF) değerlerinin ilk iki gecikme için sırasıyla ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,4\rho_2 = 0,4 olduğu, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) değerlerinin ise 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırdan farksız (kesilmiş) olduğu tespit edilmiştir.

Bu seriyi modellemek için oluşturulan ortalama denkleminin sabit terimi δ=2\delta = 2 olduğuna göre; sürecin gecikme (LL) operatörü kullanılarak yazılan karakteristik denklemi ve serinin beklenen değeri E(Yt)E(Y_t) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. A
    1−0,5L−0,4L2=01 - 0,5L - 0,4L^2 = 0 ; E(Yt)=20E(Y_t) = 20
  2. B
    1−0,2L−0,4L2=01 - 0,2L - 0,4L^2 = 0 ; E(Yt)=5E(Y_t) = 5
  3. 1−0,4L−0,2L2=01 - 0,4L - 0,2L^2 = 0 ; E(Yt)=5E(Y_t) = 5Cevap
  4. D
    1−0,4L−0,2L2=01 - 0,4L - 0,2L^2 = 0 ; E(Yt)=2E(Y_t) = 2
  5. E
    1+0,4L+0,2L2=01 + 0,4L + 0,2L^2 = 0 ; E(Yt)=5E(Y_t) = 5

Cevap

Doğru cevap, karakteristik denklemin 1−0,4L−0,2L2=01 - 0,4L - 0,2L^2 = 0 ve beklenen değerin E(Yt)=5E(Y_t) = 5 olduğu seçenektir.
Serinin PACF değerleri 2. gecikmeden sonra kesildiği için bu bir AR(2) sürecidir. Yule-Walker denklemleri (ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \phi_2) kullanılarak parametreler hesaplandığında ϕ1=0,4\phi_1 = 0,4 ve ϕ2=0,2\phi_2 = 0,2 elde edilir. Gecikme operatörü ile AR(2) karakteristik denklemi 1−ϕ1L−ϕ2L2=01 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 = 0 şeklindedir, bu da 1−0,4L−0,2L2=01 - 0,4L - 0,2L^2 = 0 olur. Durağan bir AR sürecinin beklenen değeri (ortalaması) μ=δ1−∑ϕi\mu = \frac{\delta}{1 - \sum\phi_i} formülüyle hesaplanır. Değerler yerine konduğunda μ=21−0,4−0,2=5\mu = \frac{2}{1 - 0,4 - 0,2} = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
PACF değerlerinin kesilme noktasına bakılarak sürecin derecesi belirlenir.
PACF 2. gecikmeden sonra sıfırlandığı için bu süreç bir AR(2) modelidir.
AR süreçlerinin tanımlayıcı özelliği, PACF grafiğinin sürecin derecesinden (p) sonra kesilmesidir.
2
AR(2) süreci için Yule-Walker denklemleri kullanılarak ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 katsayıları hesaplanır.
Teorik denklemler: ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \phi_2.
Otokorelasyon katsayıları (ρ\rho) ile model parametreleri (ϕ\phi) arasındaki ilişkiyi kullanarak bilinmeyen parametreleri bulmak içindir.
3
Verilen ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,4\rho_2 = 0,4 değerleri denklemlerde yerine konur ve iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.
0,5=ϕ1+0,5ϕ20,5 = \phi_1 + 0,5\phi_2 ve 0,4=0,5ϕ1+ϕ20,4 = 0,5\phi_1 + \phi_2 sistemi çözüldüğünde ϕ1=0,4\phi_1 = 0,4 ve ϕ2=0,2\phi_2 = 0,2 bulunur.
Karakteristik denklemi oluşturmak için model katsayılarına ihtiyaç vardır.
4
Gecikme operatörü (LL) kullanılarak karakteristik denklem yazılır.
Genel formül 1−ϕ1L−ϕ2L2=01 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 = 0 olduğundan, 1−0,4L−0,2L2=01 - 0,4L - 0,2L^2 = 0 elde edilir.
Modelin matematiksel gösteriminin standart gecikme operatörü formatına dönüştürülmesi gerekir.
5
Durağan AR(2) sürecinin beklenen değeri E(Yt)E(Y_t) hesaplanır.
E(Yt)=μ=δ1−ϕ1−ϕ2=21−0,4−0,2=20,4=5E(Y_t) = \mu = \frac{\delta}{1 - \phi_1 - \phi_2} = \frac{2}{1 - 0,4 - 0,2} = \frac{2}{0,4} = 5 bulunur.
Durağan zaman serilerinde ortalama sabittir ve otoregresif parametrelerle sabit terimin bir fonksiyonudur.

Anahtar Kavram

Otoregresif Modellerde (AR) Yule-Walker Denklemleri ve Beklenen Değer
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif Modeller (AR)

Bu konudan daha fazla soru