Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

İki bağımsız kitle varyansı oranı σ12σ22\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} için %90\%90 güven düzeyinde hesaplanan aralık tahmininin sınırları [L,U][L, U] şeklindedir.

Bu tahmin için birinci kitleden n1=13n_1 = 13, ikinci kitleden ise n2=16n_2 = 16 hacimli rastgele örneklemler alınmıştır. Elde edilen güven aralığının alt sınırı L=0,60L = 0,60 olarak bulunmuştur.

Buna göre, bu güven aralığının üst sınırı (UU) aşağıdakilerden hangisidir?

*(Hesaplamalarda F0,05;12,15=2,48F_{0,05; 12, 15} = 2,48 ve F0,05;15,12=2,62F_{0,05; 15, 12} = 2,62 değerlerini kullanınız.)*

  1. 3,90Cevap
  2. B
    4,12
  3. C
    3,69
  4. D
    1,57
  5. E
    0,63

Cevap

Hesaplanan güven aralığının üst sınırı 3,90'dır.
İki kitle varyansı oranı (σ12σ22\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}) için güven aralığı formülleri L=S12S22⋅1Fα/2;n1−1,n2−1L = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1}} ve U=S12S22⋅Fα/2;n2−1,n1−1U = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2; n_2-1, n_1-1} şeklindedir. Verilen L=0,60L=0,60 değerinden yola çıkarak S12S22=0,60×2,48=1,488\frac{S_1^2}{S_2^2} = 0,60 \times 2,48 = 1,488 olarak bulunur. Bulunan bu oran üst sınır formülünde yerine yazıldığında, serbestlik derecelerinin yer değiştirdiğine dikkat edilerek U=1,488×2,62=3,89856U = 1,488 \times 2,62 = 3,89856 işlemiyle yaklaşık 3,90 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans oranı için güven aralığının alt sınır (LL) formülünü yazarak örneklem varyansları oranını (S12S22\frac{S_1^2}{S_2^2}) formülde yalnız bırakmak.
L=S12S22⋅1Fα/2;n1−1,n2−1L = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1}} formülüne ulaşılır.
Üst sınırı hesaplayabilmek için öncelikle örneklem verilerinden elde edilen varyans oranının bulunması gerekir.
2
Verilen L=0,60L = 0,60 ve F0,05;12,15=2,48F_{0,05; 12, 15} = 2,48 değerlerini alt sınır formülünde yerine koyarak S12S22\frac{S_1^2}{S_2^2} değerini hesaplamak.
0,60=S12S22⋅12,48  ⟹  S12S22=0,60×2,48=1,4880,60 = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{2,48} \implies \frac{S_1^2}{S_2^2} = 0,60 \times 2,48 = 1,488 bulunur.
Birinci örneklemin varyansının ikinci örneklemin varyansına oranı, üst sınır formülünün temel bileşenidir.
3
Varyans oranı için güven aralığının üst sınır (UU) formülünü yazmak.
U=S12S22⋅Fα/2;n2−1,n1−1U = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2; n_2-1, n_1-1} formülüne ulaşılır.
Üst sınır hesaplanırken F dağılımının serbestlik derecelerinin pay ve payda için yer değiştirdiği (inversiyon özelliği) dikkate alınmalıdır.
4
Hesaplanan örneklem varyansları oranını ve ilgili F kritik değerini (F0,05;15,12=2,62F_{0,05; 15, 12} = 2,62) üst sınır formülünde yerine koyarak UU değerini hesaplamak.
U=1,488×2,62=3,89856≈3,90U = 1,488 \times 2,62 = 3,89856 \approx 3,90 elde edilir.
Tüm parametreler formüldeki doğru yerlerine yerleştirildiğinde aranan üst sınır kesin olarak bulunur.

Anahtar Kavram

İki kitle varyansı oranı için güven aralığı hesaplamasında alt ve üst sınır formüllerinin matematiksel bağıntısı ve F-dağılımı serbestlik derecelerinin inversiyon (tersinirlik) özelliğinin doğru kullanımı.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru