Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bir enerji araştırma merkezi, iki farklı teknolojiyle üretilen güneş panellerinin (A Tipi ve B Tipi) günlük enerji üretim miktarlarındaki değişkenliği karşılaştırmak istemektedir. Panellerin günlük enerji üretimlerinin bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Merkez, A Tipi panellerden rastgele n1=10n_1 = 10 günlük bir örneklem almış ve örneklem varyansını S12=45S_1^2 = 45 olarak hesaplamıştır. B Tipi panellerden ise rastgele n2=13n_2 = 13 günlük bir örneklem almış ve örneklem varyansını S22=15S_2^2 = 15 olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle varyansları oranı (σ12σ22)\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) için %90 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Kritik değerler: F0,05;9,12=2,80F_{0,05; 9, 12} = 2,80, F0,05;12,9=3,07F_{0,05; 12, 9} = 3,07, Z0,05=1,645Z_{0,05} = 1,645, t0,05;21=1,72t_{0,05; 21} = 1,72)

  1. [32,80,  3×3,07]\left[ \frac{3}{2,80}, \; 3 \times 3,07 \right]Cevap
  2. B
    [13×3,07,  2,803]\left[ \frac{1}{3 \times 3,07}, \; \frac{2,80}{3} \right]
  3. C
    [31,645,  3×1,645]\left[ \frac{3}{1,645}, \; 3 \times 1,645 \right]
  4. D
    [33,07,  3×2,80]\left[ \frac{3}{3,07}, \; 3 \times 2,80 \right]
  5. E
    [31,72,  3×1,72]\left[ \frac{3}{1,72}, \; 3 \times 1,72 \right]

Cevap

Doğru aralık, örneklem varyansları oranı olan 3'ün F tablo değerleriyle formüle uygun şekilde çarpılıp bölündüğü [3 / 2,80 , 3 × 3,07] aralığıdır.
İki kitle varyansı oranı (σ12σ22)\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) için 1−α1-\alpha güven aralığı, S12/S22S_1^2 / S_2^2 oranının uygun F kritik değerleriyle işleme sokulmasıyla bulunur. Alt sınır için nokta tahmini Fα/2;n1−1,n2−1F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1} değerine bölünür, üst sınır için ise nokta tahmini Fα/2;n2−1,n1−1F_{\alpha/2; n_2-1, n_1-1} ile çarpılır. Verilen problemde nokta tahmini 45/15=345/15 = 3'tür. Alt sınır 3/2,803 / 2,80, üst sınır ise 3×3,073 \times 3,07 olmalıdır. Doğru seçenek bu matematiksel ifadeyi tam olarak yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem varyansları oranını (nokta tahmin edicisini) hesapla.
S12S22=4515=3\frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{45}{15} = 3
İki kitle varyansı oranının en iyi nokta tahmin edicisi, örneklem varyanslarının oranıdır.
2
Serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirle.
v1=n1−1=9v_1 = n_1 - 1 = 9, v2=n2−1=12v_2 = n_2 - 1 = 12. %90 güven düzeyi için α=0,10\alpha = 0,10 ve α/2=0,05\alpha/2 = 0,05.
F dağılımında kullanılacak kritik tablo değerlerini doğru seçebilmek için pay ve payda serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.
3
Güven aralığının alt ve üst sınırlarını F dağılımı formülü ile hesapla.
Alt sınır: 3×12,803 \times \frac{1}{2,80}, Üst sınır: 3×3,073 \times 3,07
Varyans oranının güven aralığı formülü [S12S221Fα/2;v1,v2,  S12S22Fα/2;v2,v1]\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}}, \; \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2; v_2, v_1} \right] şeklindedir.

Anahtar Kavram

İki bağımsız normal dağılımlı kitlenin varyansları oranına ait aralık tahmini, F dağılımı (pivot fonksiyonu) temel alınarak elde edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru