Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

İki farklı üretim hattından alınan bağımsız rastgele örneklemlerin hacimleri sırasıyla n1=16n_1 = 16 ve n2=10n_2 = 10, bu örneklemlerden hesaplanan örneklem varyansları ise S12=24S_1^2 = 24 ve S22=15S_2^2 = 15 olarak bulunmuştur.

Kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, birinci kitlenin varyansının ikinci kitlenin varyansına oranı (σ12σ22)\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) için %90 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Burada Fα;ν1,ν2F_{\alpha; \nu_1, \nu_2}, serbestlik dereceleri ν1\nu_1 ve ν2\nu_2 olan F-dağılımının sağ kuyruk alanını α\alpha yapan kritik değeri göstermektedir.)

  1. [16F005;15,9, 16⋅F005;9,15]\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15} \right]Cevap
  2. B
    [116⋅F005;15,9, F005;9,1516]\left[ \frac{1}{1{}6 \cdot F_{0{}05; 15, 9}}, \, \frac{F_{0{}05; 9, 15}}{1{}6} \right]
  3. C
    [16−t005;242416+1510, 16+t005;242416+1510]\left[ 1{}6 - t_{0{}05; 24}\sqrt{\frac{24}{16} + \frac{15}{10}}, \, 1{}6 + t_{0{}05; 24}\sqrt{\frac{24}{16} + \frac{15}{10}} \right]
  4. D
    [16F005;16,10, 16⋅F005;10,16]\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 16, 10}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 10, 16} \right]
  5. E
    [16F010;15,9, 16⋅F010;9,15]\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}10; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}10; 9, 15} \right]

Cevap

[16F005;15,9, 16⋅F005;9,15]\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15} \right]
Doğru cevap, iki bağımsız normal kitlenin varyansları oranı için tanımlanan güven aralığı formülünü tam olarak yansıtmaktadır. Merkezde S12/S22=16S_1^2 / S_2^2 = 1{}6 oranı bulunur. Alt sınırda F kritik değerinin çarpmaya göre tersi (ν1=15,ν2=9\nu_1=15, \nu_2=9 serbestlik dereceleri ile) paydaya gelirken, üst sınırda serbestlik dereceleri yer değiştirmiş (ν1=9,ν2=15\nu_1=9, \nu_2=15) F değeri ile çarpım yapılır. Alfa değeri de çift yönlü %90 güven düzeyi için doğru biçimde 0,05 alınmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem varyanslarının oranını hesapla.
S12S22=2415=16\frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{24}{15} = 1{}6
Güven aralığının merkez tahmin edicisi (nokta tahmini) iki örneklem varyansının oranıdır.
2
Güven düzeyinden hareketle anlamlılık düzeyini (α\alpha) ve serbestlik derecelerini belirle.
α=1−090=010\alpha = 1 - 0{}90 = 0{}10, iki yönlü aralık için α/2=005\alpha/2 = 0{}05. Serbestlik dereceleri ν1=16−1=15\nu_1 = 16 - 1 = 15 ve ν2=10−1=9\nu_2 = 10 - 1 = 9 olur.
F dağılımı asimetriktir ve parametre tahmini için kritik değerler belirlenirken her iki kuyruktan eşit alan (α/2\alpha/2) bırakılır.
3
Güven aralığı alt sınır formülünü oluştur.
Alt sınır = S12S22⋅1Fα/2;ν1,ν2=16F005;15,9\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}} = \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}
F istatistiğinin matematiksel özelliklerinden ötürü F1−α/2F_{1-\alpha/2} değeri doğrudan tablodan okunamadığında 1/Fα/21 / F_{\alpha/2} dönüşümü yapılarak alt sınır elde edilir.
4
Güven aralığı üst sınır formülünü oluştur.
Üst sınır = S12S22⋅Fα/2;ν2,ν1=16⋅F005;9,15\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} = 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15}
Üst sınırda F tablosu kullanılırken pay ve payda serbestlik dereceleri yer değiştirir.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin F-Pivot Fonksiyonu ve Güven Aralığı
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru