Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bir büyükşehir belediyesi, iki farklı ilçedeki (Kuzey ve Güney ilçeleri) asfaltlama çalışmalarında harcanan günlük asfalt miktarlarının değişkenliğini incelemektedir.

Kuzey ilçesinde rastgele seçilen 16 günlük çalışmada harcanan asfalt miktarları (ton) için düzeltilmiş kareler toplamı ∑i=116(Xi−Xˉ)2=600\sum_{i=1}^{16} (X_i - \bar{X})^2 = 600 olarak bulunmuştur. Güney ilçesinde rastgele seçilen 25 günlük çalışmada ise bu değer ∑j=125(Yj−Yˉ)2=480\sum_{j=1}^{25} (Y_j - \bar{Y})^2 = 480 olarak hesaplanmıştır.

Günlük harcanan asfalt miktarlarının bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, Kuzey ilçesindeki varyansın Güney ilçesindeki varyansa oranı (σK2σG2)\left( \frac{\sigma_K^2}{\sigma_G^2} \right) için %98\%98 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(İlgili test istatistiği için tablo değerleri: F0.01;15,24=cF_{0.01; 15, 24} = c, F0.01;24,15=dF_{0.01; 24, 15} = d ve standart normal dağılım kritik değeri Z0.01=zZ_{0.01} = z olarak verilmiştir. FαF_{\alpha} değerleri sağ kuyruk olasılıklarını ifade etmektedir.)

  1. [2c,2d]\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]Cevap
  2. B
    [2d,2c]\left[ \frac{2}{d}, 2c \right]
  3. C
    [2z,2z]\left[ \frac{2}{z}, 2z \right]
  4. D
    [1.25c,1.25d]\left[ \frac{1.25}{c}, 1.25d \right]
  5. E
    [12d,c2]\left[ \frac{1}{2d}, \frac{c}{2} \right]

Cevap

Güven aralığı [2c,2d]\left[ \frac{2}{c}, 2d \right] şeklindedir.
Doğru aralık, örneklem varyanslarının oranının F dağılımı kritik değerleriyle ağırlıklandırılması sonucunda bulunur. Kuzey ve Güney ilçeleri için örneklem varyansları SK2=600/15=40S_K^2 = 600 / 15 = 40 ve SG2=480/24=20S_G^2 = 480 / 24 = 20 hesaplanarak oranları 22 bulunur. Formüldeki alt sınır için 1/F0.01;15,241/F_{0.01; 15, 24} (1/c1/c) ve üst sınır için F0.01;24,15F_{0.01; 24, 15} (dd) kullanıldığında [2c,2d]\left[ \frac{2}{c}, 2d \right] sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kuzey ilçesi için örneklem varyansının hesaplanması
SK2=60016−1=60015=40S_K^2 = \frac{600}{16-1} = \frac{600}{15} = 40
Düzeltilmiş kareler toplamı serbestlik derecesine (n1−1n_1-1) bölünmelidir.
2
Güney ilçesi için örneklem varyansının hesaplanması
SG2=48025−1=48024=20S_G^2 = \frac{480}{25-1} = \frac{480}{24} = 20
İkinci kitlenin varyans tahmini için aynı formül uygulanır.
3
Örneklem varyansları oranının bulunması
SK2SG2=4020=2\frac{S_K^2}{S_G^2} = \frac{40}{20} = 2
Güven aralığı formülünün merkez noktası örneklem varyanslarının oranıdır.
4
Güven düzeyi ve kritik F değerlerinin belirlenmesi
%98\%98 güven için α=0.02\alpha = 0.02 ve α/2=0.01\alpha/2 = 0.01 olur. Tablo değerleri: F0.01;15,24=cF_{0.01; 15, 24} = c ve F0.01;24,15=dF_{0.01; 24, 15} = d
Aralık sınırlarını oluşturmak için α/2\alpha/2 anlamlılık düzeyindeki sağ ve sol kuyruk değerleri gereklidir.
5
Güven aralığı formülüne değerlerin yerleştirilmesi
Alt sınır: 2×1c2 \times \frac{1}{c}, Üst sınır: 2×d  ⟹  [2c,2d]2 \times d \implies \left[ \frac{2}{c}, 2d \right]
[SK2SG21Fα/2;vK,vG,SK2SG2Fα/2;vG,vK]\left[ \frac{S_K^2}{S_G^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_K, v_G}}, \frac{S_K^2}{S_G^2} F_{\alpha/2; v_G, v_K} \right] formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru