Bir psikometri uzmanı, iki farklı yetenek testinin (Test I ve Test II) ölçüm hassasiyetler… — KPSS İstatistik

Bir psikometri uzmanı, iki farklı yetenek testinin (Test I ve Test II) ölçüm hassasiyetlerini karşılaştırmak amacıyla kitle varyanslarını incelemektedir. Uygulama sonucunda, Test I rastgele seçilen $n_1 = 31$ adaya, Test II ise bağımsız olarak rastgele seçilen $n_2 = 25$ adaya uygulanmıştır. Elde edilen verilerde, Test II'nin örneklem standart sapmasının, Test I'in örneklem standart sapmasının $\%50$ fazlası olduğu ( $s_2 = 1,5 s_1$ ) görülmüştür.

Buna göre, $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ kitle varyansları oranı için hesaplanacak $\%90$ güven aralığının sınırları aşağıdakilerden hangisidir?
(Kritik tablo değerleri: $F_{0,05; 30, 24} = a$ , $F_{0,05; 24, 30} = b$ ve $Z_{0,05} = c$ olarak alınacaktır.)

$\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]$ Cevap
B
$\left[ \frac{4a}{9}, \frac{4}{9b} \right]$
C
$\left[ \frac{4}{9} - \frac{2c}{3}, \frac{4}{9} + \frac{2c}{3} \right]$
D
$\left[ \frac{2}{3a}, \frac{2b}{3} \right]$
E
$\left[ \frac{9}{4b}, \frac{9a}{4} \right]$

Cevap

Hesaplanması gereken doğru aralık formülü

\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]

şeklindedir.

İki kitle varyansı oranı için

(1-\alpha)

güven aralığı

\left[ \frac{s_1^2}{s_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}}, \frac{s_1^2}{s_2^2} F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} \right]

formülü ile hesaplanır. Sorudaki verilere göre nokta tahmini

s_1^2 / s_2^2 = (1 / 1,5)^2 = 4/9

'dur. Bu değerin alt sınır için

a

'ya bölünmesi, üst sınır için ise

b

ile çarpılması gerekir. Böylece aralık

\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Örneklem standart sapmaları arasındaki ilişkiden örneklem varyansları oranını hesapla.

s_2 = 1,5 s_1 = \frac{3}{2} s_1 \implies \frac{s_1}{s_2} = \frac{2}{3}

. Buradan varyans oranı

\frac{s_1^2}{s_2^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

olarak bulunur.

Güven aralığı formülündeki nokta tahmin edici

\frac{s_1^2}{s_2^2}

değeridir.

Güven düzeyi ve serbestlik derecelerine göre kullanılacak kritik F değerlerini belirle.

Güven düzeyi

1-\alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05

. Serbestlik dereceleri

\nu_1 = 31 - 1 = 30

\nu_2 = 25 - 1 = 24

. Alt sınır için

F_{0,05; 30, 24} = a

, üst sınır için

F_{0,05; 24, 30} = b

kullanılacaktır.

Varyans oranı güven aralığı asimetrik F dağılımına dayanır ve alt/üst sınırlar farklı serbestlik derecesi dizilişlerine sahiptir.

Varyanslar oranı için güven aralığı formülünü uygula.

Alt sınır:

\frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{9a}

. Üst sınır:

\frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} = \frac{4}{9} \cdot b = \frac{4b}{9}

F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

pivot fonksiyonundan hareketle

\sigma_1^2 / \sigma_2^2

yalnız bırakıldığında sınırlar çarpımsal olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Asimetrik F Dağılımı Güven Aralığı Formülü

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru