Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYapısal Modeller (Sabit, Tesadüfi ve Karma Modeller)

Bir eğitim araştırmacısı, yeni geliştirilen 4 farklı matematik öğretim yönteminin (Faktör A) öğrencilerin dönem sonu başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Bu amaçla araştırmacı, ülke genelindeki binlerce okul arasından tesadüfi olarak 6 okul (Faktör B) seçmiş ve seçilen her okuldan rastgele belirlenen 5'er öğrenciyi her bir öğretim yöntemine atayarak iki yönlü tam çaprazlanmış (crossed) bir deney yürütmüştür.

Araştırmacı, farklı öğretim yöntemlerinin başarı üzerindeki ana etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek istemektedir.

Bu deneyin kısıtlamasız (unrestricted) yapısal karma modeli dikkate alındığında, Faktör A'nın (öğretim yöntemi) ana etkisine ait beklenen kareler ortalaması (E(KOA)E(KO_A)) yapısı ve bu etkinin anlamlılık testinde F-oranının paydası olarak kullanılması gereken uygun kareler ortalaması aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Not: σ2\sigma^2 hata varyansını, σαβ2\sigma^2_{\alpha\beta} etkileşim varyansını, σα2\sigma^2_{\alpha} Faktör A varyansını, σβ2\sigma^2_{\beta} Faktör B varyansını, ∑αi2a−1\frac{\sum\alpha_i^2}{a-1} sabit etki varyans bileşenini, nn hücre içi gözlem sayısını, aa ve bb sırasıyla Faktör A ve B'nin düzey sayılarını göstermektedir.)

  1. E(KOA)=σ2+nσαβ2+bn∑αi2a−1E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} + bn \frac{\sum\alpha_i^2}{a-1} ; Payda: KOABKO_{AB} (Etkileşim Kareler Ortalaması)Cevap
  2. B
    E(KOA)=σ2+bn∑αi2a−1E(KO_A) = \sigma^2 + bn \frac{\sum\alpha_i^2}{a-1} ; Payda: KOHataKO_{Hata} (Hata Kareler Ortalaması)
  3. C
    E(KOA)=σ2+nσαβ2+bnσα2E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} + bn\sigma^2_{\alpha} ; Payda: KOABKO_{AB} (Etkileşim Kareler Ortalaması)
  4. D
    E(KOA)=σ2+nσαβ2+bn∑αi2a−1E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} + bn \frac{\sum\alpha_i^2}{a-1} ; Payda: KOHataKO_{Hata} (Hata Kareler Ortalaması)
  5. E
    E(KOA)=σ2+nσβ2+bn∑αi2a−1E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\beta} + bn \frac{\sum\alpha_i^2}{a-1} ; Payda: KOBKO_B (Faktör B Kareler Ortalaması)

Cevap

Karma model yapısına göre E(KOA)=σ2+nσαβ2+bn∑αi2a−1E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} + bn \frac{\sum\alpha_i^2}{a-1} olmalı ve test için paydada KOABKO_{AB} kullanılmalıdır.
Deney tasarımında öğretim yöntemi sabit (araştırmacı belirlemiş), okullar ise tesadüfidir (evrenden rastgele çekilmiş). Bu durum iki yönlü bir karma (mixed) model oluşturur. İstatistiksel teoride (kısıtlamasız model kuralları gereği), tesadüfi bir faktörle çarprazlanan sabit faktörün Beklenen Kareler Ortalaması E(KOA)E(KO_A), içinde etkileşim varyans bileşenini (σαβ2\sigma^2_{\alpha\beta}) barındırır. Hipotez testinin (F-testi) mantığı gereği, Yokluk Hipotezi (H0H_0) doğru olduğunda F oranının payı ve paydası aynı beklenen değere sahip olmalıdır. H0H_0 altında E(KOA)=σ2+nσαβ2E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} olur ve bu durum tam olarak Etkileşim Kareler Ortalamasının beklenen değerine (E(KOAB)E(KO_{AB})) eşittir. Bu yüzden paydada KOABKO_{AB} kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Araştırma tasarımından faktörlerin yapısal özelliklerini (Sabit/Tesadüfi) belirleme.
Faktör A (Öğretim Yöntemi) 4 özel düzeyden oluştuğu için Sabit Faktör'dür. Faktör B (Okul) geniş bir popülasyondan rastgele seçildiği için Tesadüfi Faktör'dür.
Varyans analizi modellerinde beklenen kareler ortalamaları ve hipotez testlerinin yapısı, faktörlerin sabit mi yoksa şansa bağlı (tesadüfi) mı olduğuna doğrudan bağlıdır.
2
Modelin genel türünü sınıflandırma.
Modelde hem sabit hem de tesadüfi faktörler bulunduğu için bu bir İki Yönlü Karma (Mixed - Model III) Varyans Analizi modelidir.
Farklı faktör türleri bir arada kullanıldığında analiz kuralları Karma Model algoritmalarına göre (kısıtlamasız varsayımlar altında) işletilmelidir.
3
Faktör A için Beklenen Kareler Ortalamasını (E(KO)E(KO)) Karma Model kurallarına göre hesaplama.
Karma modelde sabit bir faktörün beklenen kareler ortalaması, hata varyansını (σ2\sigma^2), tesadüfi faktörle olan etkileşim varyansını (nσαβ2n\sigma^2_{\alpha\beta}) ve kendi sabit etkisini (bn∑αi2/(a−1)bn \sum\alpha_i^2/(a-1)) içerir.
Etkileşim terimlerinden biri tesadüfi olduğunda, etkileşimin kendisi de tesadüfi hale gelir ve sabit faktörün E(KO) denklemi içinde rastgelelikten kaynaklanan bir varyans bileşeni olarak birikim yapar.
4
Uygun F-testi için paydayı (hata terimini) belirleme.
Faktör A için H0H_0 hipotezi (αi=0\alpha_i=0) kurulduğunda pay kısmı E(KOA)=σ2+nσαβ2E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} şekline dönüşür. Beklenen değeri bu ifadeye eşit olan istatistik KOABKO_{AB}'dir. Bu nedenle F-oranı KOA/KOABKO_A / KO_{AB} olmalıdır.
Geçerli bir F-testi yapabilmek için, sıfır hipotezi doğru kabul edildiğinde F oranının pay ve paydasının beklenen değerleri birbirine eşit olmalıdır ki oran teorik olarak 1'e yakınsasın.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Karma Model Beklenen Kareler Ortalamaları ve F-Testi Seçimi
Bu soruyu puanla

Konular

Yapısal Modeller (Sabit, Tesadüfi ve Karma Modeller)