Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif Modeller (AR)

Merkez Bankası bünyesinde çalışan bir uzman, enflasyon oranındaki aylık değişimleri analiz etmek için otoregresif (AR) süreçleri kullanmaktadır. Yapılan modelleme sonucunda, serinin dinamikleri ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) (beyaz gürültü) ve LL gecikme operatörü olmak üzere aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir:

(1−0,6L+0,2L2)Yt=ϵt(1 - 0,6L + 0,2L^2)Y_t = \epsilon_t

Elde edilen bu zaman serisi modeline ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Süreç durağanlık koşullarını sağlamaktadır ve Yule-Walker denklemlerine göre birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı (ρ1\rho_1) 0,50,5'tir.Cevap
  2. B
    Sürecin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) üstel olarak sönümlenirken, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2.2. gecikmeden sonra sıfır değerini alır.
  3. C
    Süreç sonlu bir otoregresif model olduğundan her durumda durağandır; katsayıların durumu yalnızca modelin tersinirlik (invertibility) özelliğini etkiler.
  4. D
    Denklemdeki (1−0,6L+0,2L2)(1 - 0,6L + 0,2L^2) çarpanı, serinin varyansını sabitlemek ve durağanlaştırmak için ikinci dereceden düzenli fark alma işleminin uygulandığını gösterir.
  5. E
    Modelin durağan olabilmesi için yalnızca birinci gecikme katsayısının mutlak değerinin 11'den küçük olması yeterlidir ve bu şart sağlandığı için süreç durağandır.

Cevap

Doğru cevap, sürecin durağanlık koşullarını sağladığını ve Yule-Walker denklemlerine göre birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısının 0,5 olduğunu belirten ifadedir.
Verilen model (1−0,6L+0,2L2)Yt=ϵt(1 - 0,6L + 0,2L^2)Y_t = \epsilon_t şeklindedir. Bu denklem Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+ϵtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t genel AR(2) formatına dönüştürüldüğünde ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 ve ϕ2=−0,2\phi_2 = -0,2 elde edilir. AR(2) durağanlık koşulları incelendiğinde; ϕ1+ϕ2=0,4<1\phi_1 + \phi_2 = 0,4 < 1, ϕ2−ϕ1=−0,8<1\phi_2 - \phi_1 = -0,8 < 1 ve ∣ϕ2∣=0,2<1|\phi_2| = 0,2 < 1 eşitsizliklerinin üçü de sağlanır ve sürecin durağan olduğu kesinleşir. Birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı (ρ1\rho_1) ise Yule-Walker denklemlerinden ρ1=ϕ11−ϕ2\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} formülü kullanılarak hesaplanır. ρ1=0,61−(−0,2)=0,61,2=0,5\rho_1 = \frac{0,6}{1 - (-0,2)} = \frac{0,6}{1,2} = 0,5 sonucu doğru seçeneğin matematiksel ispatıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Model denkleminin standart AR(2) formuna dönüştürülmesi
Yt=0,6Yt−1−0,2Yt−2+ϵtY_t = 0,6Y_{t-1} - 0,2Y_{t-2} + \epsilon_t
Durağanlık koşullarının ve Yule-Walker denklemlerinin doğru parametrelerle (ϕ1\phi_1, ϕ2\phi_2) uygulanabilmesi için denklemdeki işaretlerin standart forma (1−ϕ1L−ϕ2L21 - \phi_1 L - \phi_2 L^2) getirilmesi gerekir. Buradan ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 ve ϕ2=−0,2\phi_2 = -0,2 bulunur.
2
AR(2) süreci için durağanlık koşullarının (üçgen kısıtlarının) kontrol edilmesi
1) ϕ1+ϕ2=0,4<1\phi_1 + \phi_2 = 0,4 < 1
2) ϕ2−ϕ1=−0,8<1\phi_2 - \phi_1 = -0,8 < 1
3) ∣ϕ2∣=∣−0,2∣=0,2<1|\phi_2| = |-0,2| = 0,2 < 1
Sürecin durağan olup olmadığını matematiksel olarak kanıtlamak için bu üç koşulun da eşanlı olarak sınanması zorunludur. Tüm koşullar sağlandığından süreç durağandır.
3
Yule-Walker denklemleri kullanılarak ρ1\rho_1'in hesaplanması
ρ1=ϕ11−ϕ2=0,61−(−0,2)=0,61,2=0,5\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} = \frac{0,6}{1 - (-0,2)} = \frac{0,6}{1,2} = 0,5
AR(2) modellerinde birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı (ρ1\rho_1), her iki otoregresif parametrenin bir fonksiyonudur ve sisteme özgü Yule-Walker diferansiyel denkleminin çözümü ile doğrudan elde edilir.

Anahtar Kavram

AR(2) modellerinde durağanlık koşulları (AR üçgeni) ve Yule-Walker denklemleri ile otokorelasyon katsayısı hesabı

Alternatif Yöntem

Durağanlık koşulları, AR(2) üçgeni kısıtları yerine modelin karakteristik denklemi (1−0,6z+0,2z2=01 - 0,6z + 0,2z^2 = 0) çözülerek de doğrulanabilir. Bu denklemin kökleri karmaşık sayı (z=1,5±1,65iz = 1,5 \pm 1,65i) olup modülleri (uzunlukları) 5≈2,23\sqrt{5} \approx 2,23'tür. Köklerin modülünün 1'den büyük olması (yani köklerin birim çemberin dışında kalması), sürecin durağan olduğunu farklı ve analitik bir yoldan ispatlar.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif Modeller (AR)

Bu konudan daha fazla soru