Soru

Zorluk: KolayÇok Değişkenli Normal Dağılım

$\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T$ rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin aşağıda verildiği bilinmektedir:

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 16 & -8 \\ -8 & 25 \end{pmatrix}

Buna göre, $X_1$ ve $X_2$ rastgele değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) kaçtır?

$-0,40$ Cevap
B
$-0,20$
C
$-8,00$
D
$0,40$
E
$-0,02$

Cevap

Korelasyon katsayısı

-0,40

olarak hesaplanır.

Varyans-kovaryans matrisinin köşegen elemanları olan 16 ve 25 değerlerinin karekökleri alındığında standart sapmalar 4 ve 5 olarak bulunur. Kovaryans değeri olan -8, bu standart sapmaların çarpımı olan 20'ye bölündüğünde korelasyon katsayısı -0,40 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans-kovaryans matrisinden bireysel varyansları ve kovaryansı belirleyin.

\sigma_1^2 = 16

,

\sigma_2^2 = 25

ve

\sigma_{12} = -8

Çok değişkenli normal dağılımda varyans-kovaryans matrisinin köşegen elemanları varyansları, köşegen dışı elemanlar ise kovaryansı verir.

2

Varyanslardan yararlanarak standart sapmaları hesaplayın.

\sigma_1 = \sqrt{16} = 4

ve

\sigma_2 = \sqrt{25} = 5

Korelasyon katsayısı formülü varyansları değil, standart sapmaları gerektirir.

3

Korelasyon katsayısı formülünü uygulayın.

\rho = \frac{\sigma_{12}}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{-8}{4 \times 5} = \frac{-8}{20} = -0,40

Korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve şiddetini belirlemek için kovaryansın standartlaştırılmasıdır.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımın parametreleri ve korelasyon katsayısı hesaplaması

Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım