Examkin

Soru

Zorluk: KolayBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir belediye, sunduğu temizlik hizmetlerinden vatandaşların memnuniyet oranını (θ\theta) tahmin etmek istemektedir. θ\theta parametresi için önsel (prior) dağılım Beta(1,1)Beta(1, 1) olarak belirlenmiştir. Rastgele seçilen n=8n=8 vatandaştan x=3x=3 tanesinin hizmetlerden memnun olduğu gözlemlenmiştir. Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığına göre, θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi kaçtır?

  1. A
    0,30
  2. B
    0,375
  3. 0,40Cevap
  4. D
    0,50
  5. E
    0,60

Cevap

Bayes tahmin edicisi 0,40 olarak hesaplanır.
Verilen Beta(1,1)Beta(1, 1) önsel dağılımı ve n=8,x=3n=8, x=3 verisiyle sonsal dağılım Beta(4,6)Beta(4, 6) olarak elde edilir. Karesel hata kaybı altında Bayes tahmin edicisi bu dağılımın ortalaması olan 4/(4+6)=0,44 / (4+6) = 0,4 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunun belirlenmesi
Önsel: θ∼Beta(α=1,β=1)\theta \sim Beta(\alpha=1, \beta=1), Veri: n=8,x=3n=8, x=3.
Beta-Binom eşlenik önsel yapısını kullanabilmek için parametrelerin tanımlanması gerekir.
2
Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerinin hesaplanması
α′=α+x=1+3=4\alpha' = \alpha + x = 1 + 3 = 4 ve β′=β+n−x=1+8−3=6\beta' = \beta + n - x = 1 + 8 - 3 = 6.
Beta önsel ve Binom olabilirlik durumunda sonsal dağılım Beta(α+x,β+n−x)Beta(\alpha+x, \beta+n-x) olur.
3
Karesel hata kaybı altında Bayes tahmin edicisinin bulunması
θ^Bayes=E[θ∣x]=α′α′+β′=44+6=410=0,40\hat{\theta}_{Bayes} = E[\theta | x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = 0,40.
Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine (ortalamasına) eşittir.

Anahtar Kavram

Beta-Binom eşlenik yapısında Bayes tahmini, önsel bilgi ile örneklem verisinin ağırlıklı ortalaması şeklinde hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Mutlak hata kayıp fonksiyonu (absolute error loss) kullanılsaydı Bayes tahmin edicisi olarak sonsal dağılımın medyanının hesaplanması gerektiğini unutmayın.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru