Bir uluslararası havalimanında günlük olarak hizmet verilen uçuş sayısı X rastgele değişke… — KPSS İstatistik

Bir uluslararası havalimanında günlük olarak hizmet verilen uçuş sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Geçmiş kayıtlara göre, bu havalimanındaki günlük uçuş sayısının beklenen değeri $E[X] = 420$ ve varyansı $Var(X) = 144$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, rastgele seçilen bir günde havalimanında hizmet verilen uçuş sayısının 360 ile 480 arasında (sınırlar dâhil) olma olasılığının alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{1}{25}$
B
$\frac{7}{12}$
$\frac{24}{25}$ Cevap
D
$\frac{4}{5}$
E
$1$

Cevap

Rastgele seçilen bir günde havalimanında hizmet verilen uçuş sayısının 360 ile 480 arasında olma olasılığının alt sınırı 24/25'tir.

Doğru değer

\frac{24}{25}

'tir. Chebyshev eşitsizliği

P(|X - \mu| \le c) \ge 1 - \frac{Var(X)}{c^2}

formülü ile aralık ihtimali alt sınırını belirler. Soru parametreleri

\mu = 420

Var(X) = 144

ve aralık

(360, 480)

olarak verilmiştir. Uzaklık (c) =

480 - 420 = 60

'tır. Formülde değerler yerine konduğunda ihtimal alt sınırı

1 - \frac{144}{3600} = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Verilen dağılım parametrelerinin ve hedeflenen olasılık aralığının Chebyshev eşitsizliğine uygun şekilde tanımlanması.

Ortalama

\mu = E[X] = 420

ve varyans

Var(X) = 144

olarak belirlenir. Hedef olasılık

P(360 \le X \le 480)

biçiminde ifade edilir.

Eşitsizliği kurabilmek için sınırların beklenen değere göre dağılımını (simetrisini) ortaya koymak gereklidir.

Aralık sınırlarının beklenen değere olan mutlak uzaklığının (

c

) hesaplanması ve mutlak değer eşitsizliği formuna geçilmesi.

Üst sınır için

c = 480 - 420 = 60

ve alt sınır için

420 - 360 = 60

olarak bulunur. Olasılık simetrik uzaklıkta

P(|X - 420| \le 60)

formunu alır.

Chebyshev eşitsizliği

P(|X - \mu| \le c) \ge 1 - \frac{Var(X)}{c^2}

formülüne dayandığı için

c

sapma (uzaklık) miktarının netleşmesi şarttır.

Chebyshev eşitsizliği formülünde

Var(X)

c^2

değerleri yerine konularak aranan alt sınırın bulunması.

1 - \frac{Var(X)}{c^2} = 1 - \frac{144}{60^2} = 1 - \frac{144}{3600} = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}

olasılık alt sınırına ulaşılır.

Belirtilen uzaklık aralığının içinde kalma olasılığının teorik olarak alabileceği minimum ihtimal değerini (alt sınırı) veren nihai matematiksel işlemdir.

Anahtar Kavram

Chebyshev eşitsizliğini (

P(|X-\mu| \le c) \ge 1-Var(X)/c^2

) kullanarak belirli aralıklar için olasılık alt sınırının hesaplanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru