Bir Sosyal Güvenlik Kurumu il müdürlüğüne gün içinde yapılan emeklilik başvurusu sayısı X … — KPSS İstatistik

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu il müdürlüğüne gün içinde yapılan emeklilik başvurusu sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Geçmiş kayıtlara göre, günlük başvuru sayısının beklenen değeri $50$ ve varyansı $9$ 'dur.

Müdürlüğün günlük operasyonel maliyeti (TL cinsinden) $Y = 3X + 40$ eşitliği ile belirlenmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde operasyonel maliyetin $175$ TL ile $205$ TL arasında olma olasılığının alabileceği en küçük değer (alt sınır) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{9}{25}$
B
$\frac{2}{5}$
$\frac{16}{25}$ Cevap
D
$\frac{22}{25}$
E
$\frac{24}{25}$

Cevap

\frac{16}{25}

Chebyshev eşitsizliği, dağılımı tam olarak bilinmeyen bir rastgele değişkenin ortalamasından belirli bir mesafede kalma olasılığının alt sınırını bulmamızı sağlar. Maliyet fonksiyonunun (

Y = 3X + 40

) beklenen değeri

E[Y]=190

ve varyansı

Var(Y)=3^2 \times 9 = 81

'dir. Sorulan

175

ile

205

aralığı,

190

ortalamadan simetrik olarak

15

birim sapmayı ifade eder (

d=15

). İlgili formül uygulandığında:

P(|Y - 190| < 15) \geq 1 - \frac{Var(Y)}{d^2} = 1 - \frac{81}{225}

. Bu kesir

9

ile sadeleştirildiğinde

1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini ve varyansını hesaplayın.

E[Y] = 3(50) + 40 = 190

Var(Y) = 3^2 \times 9 = 81

Chebyshev eşitsizliğini maliyet (

Y

) üzerinde uygulayabilmek için yeni değişkenin ortalaması ve varyansı gereklidir.

İstenen

175 < Y < 205

aralığını, ortalamadan simetrik sapma (mutlak değer) biçiminde ifade edin.

P(175 < Y < 205) = P(-15 < Y - 190 < 15) = P(|Y - 190| < 15)

. Sapma miktarı

d = 15

'tir.

Chebyshev eşitsizliği, rastgele bir değişkenin kendi ortalamasından belirli bir

d

birim uzaklıkta kalma olasılığını tanımlar.

Chebyshev eşitsizliği alt sınır formülünü kullanarak hesaplamayı tamamlayın.

P(|Y - \mu_Y| < d) \geq 1 - \frac{Var(Y)}{d^2} \implies 1 - \frac{81}{15^2} = 1 - \frac{81}{225} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Bir değişkenin ortalamasından en fazla

d

kadar sapması olasılığının en küçük değeri (alt sınırı) formüle göre

1 - \frac{\sigma^2}{d^2}

'dir.

Anahtar Kavram

Rastgele değişkenlerin doğrusal dönüşümlerinde beklenen değer ve varyans kurallarının kullanılarak, bilinmeyen bir dağılım için Chebyshev eşitsizliği yardımıyla olasılık alt sınırının bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru