Examkin

Soru

Zorluk: OrtaChebyshev Eşitsizliği

Bir tarım işletmesinde aylık üretilen süt miktarı XX (litre) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Geçmiş kayıtlara göre, aylık ortalama süt üretimi E[X]=12.000E[X] = 12.000 litre ve varyansı Var(X)=10.000Var(X) = 10.000 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, Chebyshev eşitsizliği kullanılarak rastgele seçilen bir ayda süt üretim miktarının 11.60011.600 litre ile 12.40012.400 litre arasında olma olasılığının alabileceği en küçük değer (alt sınır) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    14\frac{1}{4}
  2. 1516\frac{15}{16}Cevap
  3. C
    6364\frac{63}{64}
  4. D
    116\frac{1}{16}
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

Süt üretiminin belirtilen aralıkta olma olasılığının alabileceği en küçük değer 1516\frac{15}{16}'dır.
Chebyshev eşitsizliğine göre, herhangi bir XX rastgele değişkeninin ortalamasından (μ\mu) en fazla ϵ\epsilon kadar sapma göstermesi olasılığının alt sınırı P(∣X−μ∣<ϵ)≥1−Var(X)ϵ2P(|X - \mu| < \epsilon) \geq 1 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2} formülü ile bulunur. Verilen problemde ortalama μ=12.000\mu = 12.000 ve istenen aralığın ortalamadan sapma miktarı ϵ=400\epsilon = 400'dür. Varyans Var(X)=10.000Var(X) = 10.000 olarak verildiği için denklemde yerine konduğunda sonuç 1−10.0004002=1−10.000160.000=1−116=15161 - \frac{10.000}{400^2} = 1 - \frac{10.000}{160.000} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Chebyshev eşitsizliğini uygulamak için parametrelerin tanımlanması.
Ortalama μ=12.000\mu = 12.000 ve varyans Var(X)=10.000Var(X) = 10.000 olarak belirlenir. İstenen aralık olasılığı: P(11.600<X<12.400)P(11.600 < X < 12.400).
Teoremi kullanabilmek için değişkenin ortalaması ve varyansının formülasyona uygun şekilde yazılması gerekir.
2
Sınırların ortalamadan olan mutlak sapma miktarının (ϵ\epsilon) bulunması.
ϵ=12.400−12.000=400\epsilon = 12.400 - 12.000 = 400 (veya ϵ=12.000−11.600=400\epsilon = 12.000 - 11.600 = 400) olarak hesaplanır.
Chebyshev eşitsizliği P(∣X−μ∣<ϵ)P(|X - \mu| < \epsilon) formatında çalışır, dolayısıyla ortalamadan olan uzaklık bulunmalıdır.
3
Bulunan değerlerin Chebyshev alt sınır formülünde (1−Var(X)ϵ21 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2}) yerine konulması.
P(∣X−12.000∣<400)≥1−10.0004002=1−10.000160.000=1−116=1516P(|X - 12.000| < 400) \geq 1 - \frac{10.000}{400^2} = 1 - \frac{10.000}{160.000} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} elde edilir.
Rastgele değişkenin μ±ϵ\mu \pm \epsilon aralığı içinde kalma olasılığının en küçük değeri (alt sınırı) teorem gereği bu matematiksel ifadeyle bulunur.

Anahtar Kavram

Chebyshev eşitsizliği yardımıyla, bir rastgele değişkenin ortalamasından belirli bir simetrik uzaklık içerisinde yer alma olasılığının alt sınırının hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Chebyshev Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru