Examkin

Soru

Zorluk: ZorChebyshev Eşitsizliği

Bir kamu bankasının çağrı merkezine gelen müşteri şikayetlerinin çözüme kavuşturulma süresi XX (dakika) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan analizler sonucunda, bu değişkenin birinci ve ikinci momentleri sırasıyla E[X]=20E[X] = 20 ve E[X2]=409E[X^2] = 409 olarak bulunmuştur.

Buna göre, Chebyshev eşitsizliği kullanılarak, rastgele seçilen bir şikayetin çözüme kavuşturulma süresinin 12 dakika ile 28 dakika arasında olma olasılığının alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    964\frac{9}{64}
  2. B
    6164\frac{61}{64}
  3. 5564\frac{55}{64}Cevap
  4. D
    364\frac{3}{64}
  5. E
    58\frac{5}{8}

Cevap

Rastgele seçilen bir şikayetin çözüm süresinin belirlenen aralıkta olma olasılığı en az 5564\frac{55}{64} olarak bulunur.
Verilen E[X]=20E[X] = 20 ve E[X2]=409E[X^2] = 409 değerleri kullanılarak varyans Var(X)=409−202=9Var(X) = 409 - 20^2 = 9 olarak hesaplanır. Soruda istenen (12,28)(12, 28) aralığı, μ=20\mu = 20 ortalamasından her iki yöne ϵ=8\epsilon = 8 birim sapmayı ifade eder. Chebyshev eşitsizliğine göre bir değişkenin ortalamasından ϵ\epsilon kadar sapma aralığında bulunma olasılığı en az 1−Var(X)ϵ21 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2}'dir. Bulunan değerler yerine konulduğunda 1−982=1−964=55641 - \frac{9}{8^2} = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkenin varyansının hesaplanması
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=409−202=409−400=9Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 409 - 20^2 = 409 - 400 = 9
Chebyshev eşitsizliğini uygulayabilmek için dağılımın varyans değerine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
İstenen aralığın ortalamadan sapma miktarının (ϵ\epsilon) belirlenmesi
12<X<2812 < X < 28 aralığının, ortalama olan μ=20\mu = 20'ye göre simetrik sapması ∣X−20∣<8|X - 20| < 8 olduğundan, ϵ=8\epsilon = 8'dir.
Olasılık sınırının formülde hesaplanabilmesi için aralığın beklenen değere göre mutlak sapma miktarı bilinmelidir.
3
Chebyshev eşitsizliği kullanılarak minimum olasılığın bulunması
P(∣X−20∣<8)≥1−Var(X)ϵ2  ⟹  1−982=1−964=5564P(|X - 20| < 8) \ge 1 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2} \implies 1 - \frac{9}{8^2} = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}
Bir rastgele değişkenin ortalamasından belirli bir sapma aralığında kalma olasılığının alt sınırını elde etmek içindir.

Anahtar Kavram

Chebyshev Eşitsizliği ve Varyans Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Chebyshev Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru