Bir kamu kurumunda A ve B servislerinin günlük işledikleri evrak sayıları sırasıyla X ve Y… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda A ve B servislerinin günlük işledikleri evrak sayıları sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Yapılan analizlerde bu değişkenlere ait şu istatistikler elde edilmiştir:

$E[X] = 50, \quad E[Y] = 50$
$Var(X) = 10, \quad Var(Y) = 10$

Ayrıca $X$ ve $Y$ değişkenlerinin bağımsız olmadığı bilinmekte olup, $E[XY] = 2508$ olarak hesaplanmıştır.

Kurumun her iki servisinde günlük işlenen toplam evrak sayısı $T = X + Y$ olmak üzere, rastgele seçilen bir günde toplam evrak sayısının $82$ ile $118$ arasında olma olasılığı Chebyshev eşitsizliğine göre en az kaçtır?

A
$\frac{1}{9}$
$\frac{8}{9}$ Cevap
C
$\frac{74}{81}$
D
$\frac{76}{81}$
E
$\frac{53}{54}$

Cevap

\frac{8}{9}

Chebyshev eşitsizliğine göre bir rastgele değişkenin ortalamasından

c

kadar sapma yapması aralığında (içerisinde) bulunma olasılığının alt sınırı

1 - \frac{Var(T)}{c^2}

formülü ile bulunur. Öncelikle

T = X + Y

değişkeninin beklenen değeri

E[T] = 100

olarak bulunur. Varyansı için

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 2508 - 2500 = 8

hesaplanır ve

Var(T) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) = 10 + 10 + 16 = 36

elde edilir. İstenen aralık

(82, 118)

olup, ortalamadan sapma miktarı

c = 18

'dir. Değerler formülde yerine konulduğunda

1 - \frac{36}{18^2} = 1 - \frac{36}{324} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

T

rastgele değişkeninin beklenen değerini hesaplama

E[T] = E[X] + E[Y] = 50 + 50 = 100

Chebyshev eşitsizliğinde sapma miktarını (

c

) belirlemek için toplam evrak sayısının ortalamasına ihtiyaç vardır.

X

Y

değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 2508 - (50 \times 50) = 2508 - 2500 = 8

Değişkenler bağımsız olmadığı için, iki değişkenin toplamının varyansını bulurken aralarındaki kovaryans (birlikte değişim) değeri kullanılmalıdır.

T

'nin varyansını hesaplama

Var(T) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) = 10 + 10 + 2(8) = 20 + 16 = 36

Chebyshev eşitsizliğinin sınırını belirleyen temel dağılım parametresi varyanstır.

Ortalamadan sapma miktarını (

c

) belirleme

Aralık

(82, 118)

olarak verilmiştir.

118 - 100 = 18

100 - 82 = 18

olduğundan sapma miktarı

c = 18

olarak bulunur.

İstenen aralık

|T - \mu| < c

mutlak değer eşitsizliği ile modellendiğinde sapma miktarı eşitsizlik formülünün paydasını oluşturur.

Chebyshev eşitsizliğini uygulayarak alt sınırı bulma

P(|T - 100| < 18) \ge 1 - \frac{Var(T)}{c^2} = 1 - \frac{36}{18^2} = 1 - \frac{36}{324} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

Verilen aralıkta bulunma olasılığının minimum değerini (alt sınırını) matematiksel olarak kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Bağımlı Değişkenlerin Toplamının Varyansı ve Chebyshev Eşitsizliği

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru