Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Aşamalı Küme Örneklemesi

Bir tarım il müdürlüğü, il sınırları içerisindeki N=200N = 200 adet sera işletmesini her biri birer küme olacak şekilde tanımlamış ve incelemeye almıştır. Seralardaki toplam hastalıklı bitki sayısını tahmin etmek amacıyla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=20n = 20 sera seçilmiş ve bu seçilen seralardaki tüm bitkiler tek tek incelenerek hastalıklı olanlar sayılmıştır.

Elde edilen verilere göre, örnekleme seçilen 20 seradaki toplam hastalıklı bitki sayısı ∑i=120yi=300\sum_{i=1}^{20} y_i = 300 ve küme toplamlarının örneklem varyansı sc2=400s_c^2 = 400 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, il genelindeki seralarda bulunan toplam hastalıklı bitki sayısı tahmini (Y^\hat{Y}) ve bu tahminin varyansı (V^(Y^)\hat{V}(\hat{Y})) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. Y^=3000;V^(Y^)=720.000\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 720.000Cevap
  2. B
    Y^=3000;V^(Y^)=800.000\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 800.000
  3. C
    Y^=3000;V^(Y^)=3600\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 3600
  4. D
    Y^=60.000;V^(Y^)=800.000\hat{Y} = 60.000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 800.000

Cevap

İl genelindeki toplam hastalıklı bitki sayısı tahmini 3000, bu tahminin varyansı ise 720.000 olarak bulunur.
Verilen değerler formüllerde yerine konulduğunda; önce yˉc=300/20=15\bar{y}_c = 300 / 20 = 15 bulunur. Buradan toplam tahmini Y^=200×15=3000\hat{Y} = 200 \times 15 = 3000 olarak elde edilir. Varyans hesaplamasında ise iadesiz örnekleme yapıldığı için SKD uygulanır. Ortalamanın varyansı V^(yˉc)=(1−0.10)×(400/20)=18\hat{V}(\bar{y}_c) = (1 - 0.10) \times (400 / 20) = 18 bulunur. Toplamın varyansı için bu değer N2=40.000N^2 = 40.000 ile çarpıldığında sonuç 720.000720.000 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemdeki küme başına ortalama hastalıklı bitki sayısını (yˉc\bar{y}_c) hesaplayın.
yˉc=∑yin=30020=15\bar{y}_c = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{300}{20} = 15
Kitle toplamını tahmin etmek için öncelikle seçilen kümelerdeki ortalama değerin bulunması gerekir.
2
Kitle toplamı tahminini (Y^\hat{Y}) hesaplayın.
Y^=N×yˉc=200×15=3000\hat{Y} = N \times \bar{y}_c = 200 \times 15 = 3000
Tek aşamalı küme örneklemesinde toplam tahmini, küme sayısı (N) ile küme başına düşen ortalamanın çarpımıyla elde edilir.
3
Ortalama tahmininin varyansını (V^(yˉc)\hat{V}(\bar{y}_c)) hesaplayın.
V^(yˉc)=(1−nN)sc2n=(1−20200)40020=0.90×20=18\hat{V}(\bar{y}_c) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_c^2}{n} = \left(1 - \frac{20}{200}\right) \frac{400}{20} = 0.90 \times 20 = 18
Örneklem iadesiz seçildiği için Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) olan (1−f)(1-f) kullanılarak ortalamanın varyansı bulunur.
4
Kitle toplamı tahmininin varyansını (V^(Y^)\hat{V}(\hat{Y})) hesaplayın.
V^(Y^)=N2×V^(yˉc)=2002×18=40.000×18=720.000\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \times \hat{V}(\bar{y}_c) = 200^2 \times 18 = 40.000 \times 18 = 720.000
Toplamın varyansına geçiş yaparken ortalamanın varyansı kitledeki küme sayısının karesi (N2N^2) ile genişletilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek Aşamalı Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı ve Varyans Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Aşamalı Küme Örneklemesi

Bu konudan daha fazla soru