Bir büyükşehir belediyesi, hizmet binalarının aylık elektrik tüketimini (Y, MWh) tahmin et… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesi, hizmet binalarının aylık elektrik tüketimini ( $Y$ , MWh) tahmin etmek amacıyla; kapalı alan büyüklüğü ( $X_1$ , $1000\ m^2$ ), personel sayısı ( $X_2$ ) ve günlük ortalama çalışma süresi ( $X_3$ ) bağımsız değişkenlerini kullanarak sabit terimli bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur.

Model, rastgele seçilen $n = 34$ hizmet binasına ait verilerle En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilmiştir.

Elde edilen bazı sonuçlar şunlardır:
- Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) = $1200$
- Personel sayısı değişkenine ait eğim katsayısı tahmini ( $\hat{\beta}_2$ ) = $4,5$
- $(X'X)^{-1}$ matrisinin asal köşegeninde $\beta_2$ katsayısına karşılık gelen eleman ( $c_{22}$ ) = $0,10$

Kritik $t$ tablo değerleri:
- $t_{(0,025; 30)} = 2,042$
- $t_{(0,050; 30)} = 1,697$
- $t_{(0,025; 31)} = 2,040$
- $t_{(0,025; 32)} = 2,037$

Buna göre, personel sayısı değişkeninin katsayısı ( $\beta_2$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

$[0,416 ; 8,584]$ Cevap
B
$[0,555 ; 8,445]$
C
$[0,486 ; 8,514]$
D
$[1,106 ; 7,894]$
E
$[-3,668 ; 12,668]$

Cevap

%95 güven aralığı

[0,416 ; 8,584]

olarak hesaplanmıştır.

Çoklu doğrusal regresyon modelinde bir katsayının %95 güven aralığı

\hat{\beta}_j \pm t_{\alpha/2, (n-k-1)} \times S_{\hat{\beta}_j}

formülü ile hesaplanır. Modelde 3 bağımsız değişken ve 1 sabit terim olduğundan, hatanın serbestlik derecesi

34 - 3 - 1 = 30

'dur. Hata varyansı (HKO)

1200 / 30 = 40

olarak bulunur. İlgili katsayının standart hatası ise varyansın (40)

(X'X)^{-1}

matrisindeki karşılık gelen eleman (0,10) ile çarpımının kareköküdür (

\sqrt{4} = 2

). Kritik tablo değeri olan 2,042 ile standart hata (2) çarpılarak hata payı (4,084) bulunur ve nokta tahmini olan 4,5 değerine eklenip çıkarılarak aralık

[0,416 ; 8,584]

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Regresyon modelinin serbestlik derecesini (sd) ve Hata Kareler Ortalamasını (HKO =

\hat{\sigma}^2

) hesapla.

sd =

n - k - 1 = 34 - 3 - 1 = 30

. HKO =

\frac{HKT}{n - k - 1} = \frac{1200}{30} = 40

Katsayının standart hatasını bulabilmek için öncelikle modelin hata varyansının yansız tahmin edicisini bulmak gerekir.

\hat{\beta}_2

katsayısının standart hatasını (

S_{\hat{\beta}_2}

) matris formülüyle hesapla.

S_{\hat{\beta}_2} = \sqrt{\hat{\sigma}^2 \cdot c_{22}} = \sqrt{40 \cdot 0,10} = \sqrt{4} = 2

Çoklu regresyonda katsayıların varyansı

(X'X)^{-1}

matrisinin köşegen elemanları ile HKO'nun çarpımına eşittir. Standart hata, bu varyansın kareköküdür.

Kritik t değerini belirle ve %95 güven aralığını hesapla.

%95 güven düzeyi için

\alpha = 0,05

ve iki yönlü

\alpha/2 = 0,025

kullanılarak

t_{(0,025; 30)} = 2,042

bulunur. Aralık:

4,5 \pm (2,042 \times 2) = 4,5 \pm 4,084

. Alt sınır:

0,416

, Üst sınır:

8,584

Güven aralığı formülü

\hat{\beta}_j \pm t_{\alpha/2, sd} \times S_{\hat{\beta}_j}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Regresyonda Standart Hata ve Güven Aralıkları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru