Examkin

Soru

Zorluk: KolayOrtak Olasılık Fonksiyonları

Bir ölçüm sürecinde ortaya çıkan XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

f(x,y)={kxy2,0<x<2, 0<y<10,dig˘er durumlarf(x, y) = \begin{cases} kxy^2, & 0 < x < 2, \ 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, f(x,y)f(x, y) fonksiyonunun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için kk sabitinin değeri kaç olmalıdır?

  1. 3/2Cevap
  2. B
    2/3
  3. C
    3/4
  4. D
    1/3
  5. E
    3

Cevap

Fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için kk sabitinin değeri 3/23/2 olmalıdır.
Verilen fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için tüm tanımlı bölge üzerindeki integralinin 1 olması gerekir. Dikdörtgensel bölge üzerinde yapılan çift katlı integral hesaplamasında (0<x<20<x<2 ve 0<y<10<y<1), fonksiyonun integrali 2k/32k/3 olarak bulunur. Bu değerin 1'e eşitlenmesiyle k=3/2k = 3/2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Normalizasyon koşulunu yazın.
∫01∫02kxy2 dx dy=1\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} kxy^2 \, dx \, dy = 1
Sürekli rastgele değişkenler için toplam olasılığın (tüm uzaydaki integralin) 1'e eşit olması gerekir.
2
xx değişkenine göre iç integrali hesaplayın.
∫02kxy2 dx=ky2[x22]02=ky2(2−0)=2ky2\int_{0}^{2} kxy^2 \, dx = k y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = k y^2 (2 - 0) = 2ky^2
xx integralinin sınırları 0 ile 2 arasındadır.
3
yy değişkenine göre dış integrali hesaplayın.
∫012ky2 dy=2k[y33]01=2k(13−0)=2k3\int_{0}^{1} 2ky^2 \, dy = 2k \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2k \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2k}{3}
yy integralinin sınırları 0 ile 1 arasındadır.
4
Elde edilen sonucu 1'e eşitleyerek kk değerini bulun.
2k3=1  ⟹  k=32\frac{2k}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{2}
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımı gereği integral sonucu 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) toplam integralinin 1'e eşit olma zorunluluğu (Normalizasyon).

İpuçları

1
Bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tüm bölge üzerindeki integrali 1 olmalıdır.
2
İntegrali hesaplarken xx için 0'dan 2'ye, yy için 0'dan 1'e kadar olan sınırları kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu üçgensel bir bölge (örneğin 0<x<y<10 < x < y < 1) için çözerek sınırların integrale etkisini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Olasılık Fonksiyonları