Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bir kitleden alınan nn birimlik bir rastgele örneklem olsun. Bu kitlenin olasılık kütle fonksiyonu, 0<θ<10 < \theta < 1 olmak üzere şu şekilde verilmiştir:

f(x;θ)=θ(1−θ)x−1,x=1,2,3,…f(x; \theta) = \theta(1-\theta)^{x-1}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

Buna göre, θ\theta parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. θ2(1−θ)n\frac{\theta^2(1-\theta)}{n}Cevap
  2. B
    1−θnθ2\frac{1-\theta}{n\theta^2}
  3. C
    θ(1−θ)n\frac{\theta(1-\theta)}{n}
  4. D
    θ2(1−θ)\theta^2(1-\theta)
  5. E
    θ2n\frac{\theta^2}{n}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı θ2(1−θ)n\frac{\theta^2(1-\theta)}{n} olarak bulunur.
Doğru cevap olan ifade, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevi üzerinden hesaplanan Fisher bilgisinin (I(θ)=1/(θ2(1−θ))I(\theta) = 1/(\theta^2(1-\theta))) tersinin örneklem büyüklüğüne bölünmesiyle elde edilen teorik alt sınırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun doğal logaritmasını alın.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ+(x−1)ln⁡(1−θ)\ln f(x; \theta) = \ln \theta + (x-1)\ln(1-\theta)
Fisher bilgisi hesaplaması için log-olabilirlik fonksiyonu gereklidir.
2
Parametreye (θ\theta) göre birinci ve ikinci türevleri hesaplayın.
∂∂θln⁡f=1θ−x−11−θ\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = \frac{1}{\theta} - \frac{x-1}{1-\theta} ve ∂2∂θ2ln⁡f=−1θ2−x−1(1−θ)2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f = -\frac{1}{\theta^2} - \frac{x-1}{(1-\theta)^2}
Fisher bilgisi, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin negatif beklenen değeridir.
3
İkinci türevin negatif beklenen değerini alarak Fisher bilgisini (I(θ)I(\theta)) bulun.
I(θ)=1θ2+E(X−1)(1−θ)2=1θ2+(1−θ)/θ(1−θ)2=1θ2(1−θ)I(\theta) = \frac{1}{\theta^2} + \frac{E(X-1)}{(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta^2} + \frac{(1-\theta)/\theta}{(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta^2(1-\theta)}
E(X)=1/θE(X) = 1/\theta olduğu için E(X−1)=(1−θ)/θE(X-1) = (1-\theta)/\theta olur.
4
Cramer-Rao alt sınır formülünü uygulayın.
CRLB=1nI(θ)=1n/[θ2(1−θ)]=θ2(1−θ)nCRLB = \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n / [\theta^2(1-\theta)]} = \frac{\theta^2(1-\theta)}{n}
nn birimlik bir örneklem için varyansın alt sınırı 1/(nI(θ))1/(n I(\theta)) formülü ile belirlenir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Fisher Bilgisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru