Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, simetrik ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrislerinin algoritmik işlemlerde daha kolay kullanılabilmesi için çeşitli parçalanış yöntemleri uygulanmaktadır.

Bir araştırmacı, elde ettiği 3×33 \times 3 boyutlu Σ\Sigma varyans-kovaryans matrisini Cholesky parçalanışı yöntemiyle Σ=LLT\Sigma = L L^T formatında ayrıştırmaktadır (Burada LL alt üçgensel bir matristir ve LTL^T onun devriğidir).

Araştırmacının kullandığı Σ\Sigma matrisi aşağıda verilmiştir:
Σ=[44442084814] \Sigma = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 20 & 8 \\ 4 & 8 & 14 \end{bmatrix}

Buna göre, parçalanış sonucu elde edilecek LL alt üçgensel matrisinin izi (tr(L)tr(L), esas köşegen üzerindeki elemanlarının toplamı) kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    14
  3. 9Cevap
  4. D
    24
  5. E
    38

Cevap

Doğru cevap, LL matrisinin köşegen elemanlarının toplamının 9 olduğunu belirten seçenektir.
Cholesky parçalanışında Σ=LLT\Sigma = L L^T eşitliği kullanılarak LL alt üçgensel matrisi adım adım hesaplanır. İlk köşegen elemanı l11=Σ11=4=2l_{11} = \sqrt{\Sigma_{11}} = \sqrt{4} = 2'dir. İkinci köşegen elemanı için l22=Σ22−l212l_{22} = \sqrt{\Sigma_{22} - l_{21}^2} formülü kullanılır, burada l21=Σ21/l11=4/2=2l_{21} = \Sigma_{21}/l_{11} = 4/2 = 2 olduğundan l22=20−4=4l_{22} = \sqrt{20 - 4} = 4 elde edilir. Üçüncü köşegen elemanı için l33=Σ33−l312−l322l_{33} = \sqrt{\Sigma_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} uygulanır; l31=2l_{31} = 2 ve l32=1l_{32} = 1 hesaplandıktan sonra l33=14−4−1=3l_{33} = \sqrt{14 - 4 - 1} = 3 bulunur. Soruda sorulan LL matrisinin izi (köşegen elemanlar toplamı) 2+4+3=92 + 4 + 3 = 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
LL matrisinin 1. sütun elemanlarının hesaplanması
l11=2l_{11} = 2, l21=2l_{21} = 2, l31=2l_{31} = 2
Cholesky parçalanışında l11=Σ11l_{11} = \sqrt{\Sigma_{11}} eşitliğinden l11=4=2l_{11} = \sqrt{4} = 2 bulunur. Sütunun diğer elemanları li1=Σi1/l11l_{i1} = \Sigma_{i1} / l_{11} formülüyle l21=4/2=2l_{21} = 4 / 2 = 2 ve l31=4/2=2l_{31} = 4 / 2 = 2 olarak elde edilir.
2
LL matrisinin 2. sütun elemanlarının hesaplanması
l22=4l_{22} = 4, l32=1l_{32} = 1
Köşegen elemanı l22=Σ22−l212=20−22=16=4l_{22} = \sqrt{\Sigma_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{20 - 2^2} = \sqrt{16} = 4 olarak hesaplanır. Sütunun diğer elemanı l32=(Σ32−l31l21)/l22=(8−(2×2))/4=4/4=1l_{32} = (\Sigma_{32} - l_{31}l_{21}) / l_{22} = (8 - (2 \times 2)) / 4 = 4 / 4 = 1 olarak bulunur.
3
LL matrisinin 3. sütun elemanının hesaplanması ve matrisin izinin bulunması
l33=3l_{33} = 3, tr(L)=9tr(L) = 9
Üçüncü köşegen elemanı l33=Σ33−l312−l322=14−22−12=14−4−1=9=3l_{33} = \sqrt{\Sigma_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} = \sqrt{14 - 2^2 - 1^2} = \sqrt{14 - 4 - 1} = \sqrt{9} = 3 olarak hesaplanır. LL matrisinin izi köşegen elemanlarının toplamıdır: l11+l22+l33=2+4+3=9l_{11} + l_{22} + l_{33} = 2 + 4 + 3 = 9.

Anahtar Kavram

Cholesky Parçalanışı ve Matris İzi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Matris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Bu konudan daha fazla soru