Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde veri simülasyonu yapmak isteyen bir araştırmacı, değişkenler arasındaki ilişki yapısını modellemek için pozitif tanımlı ve simetrik olan

Σ=[4121245] \Sigma = \begin{bmatrix} 4 & 12 \\ 12 & 45 \end{bmatrix}

kovaryans matrisini kullanmaktadır. Araştırmacı bu matrisi, LL köşegen elemanları pozitif olan bir alt üçgensel matris olmak üzere, Cholesky ayrışımı yöntemiyle Σ=LLT\Sigma = L L^T şeklinde çarpanlarına ayırmıştır.

Buna göre, elde edilen LL matrisinin determinantı kaçtır?

  1. A
    5
  2. 6Cevap
  3. C
    11
  4. D
    36
  5. E
    49

Cevap

Elde edilen alt üçgensel L matrisinin determinantı 6'dır.
Doğru yanıt 6'dır. Simetrik ve pozitif tanımlı bir Σ\Sigma matrisinin Cholesky ayrışımı Σ=LLT\Sigma = LL^T formundadır. Determinant özelliklerinden ∣Σ∣=∣L∣×∣LT∣|\Sigma| = |L| \times |L^T| ve ∣L∣=∣LT∣|L| = |L^T| olduğu bilinmektedir. Bu durumda ∣Σ∣=∣L∣2|\Sigma| = |L|^2 eşitliği geçerlidir. Verilen matrisin determinantı ∣Σ∣=(4×45)−(12×12)=36|\Sigma| = (4 \times 45) - (12 \times 12) = 36'dır. Buradan ∣L∣2=36|L|^2 = 36 ve LL'nin köşegen elemanları pozitif olduğu için ∣L∣=6|L| = 6 olarak bulunur. Alternatif olarak LL matrisi doğrudan hesaplandığında köşegen elemanlarının 2 ve 3 olduğu görülür, çarpımları yine 6 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal kovaryans matrisinin determinantını hesaplama
∣Σ∣=(4×45)−(12×12)=180−144=36|\Sigma| = (4 \times 45) - (12 \times 12) = 180 - 144 = 36
Cholesky ayrışımında, orijinal matris ile çarpan matrislerinin determinantları arasındaki özellikten faydalanmak için öncelikle orijinal determinant bulunur.
2
Cholesky ayrışımının determinant özelliğini formülize etme
∣Σ∣=∣LLT∣=∣L∣×∣LT∣=∣L∣2|\Sigma| = |L L^T| = |L| \times |L^T| = |L|^2
Bir matrisin devriğinin (transpozesinin) determinantı kendisine eşittir (∣LT∣=∣L∣|L^T| = |L|).
3
LL matrisinin determinantını çözme
∣L∣2=36  ⟹  ∣L∣=6|L|^2 = 36 \implies |L| = 6
Cholesky ayrışımında LL matrisinin köşegen elemanları pozitif tanımlandığından, determinantı (köşegen elemanların çarpımı) da pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Cholesky Ayrışımında Determinant Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Matris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Bu konudan daha fazla soru